Um tubo de 5,0 \mathrm{~cm} de diâmetro externo e 0,5 \mathrm{~m} de comprimento tem as paredes externas a 155^{\circ} \mathrm{C}. Ele está em um ambiente sem ventilação externa a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1,0 \mathrm{~atm}. Qual a taxa de perda de calor por convecção se:
o tubo estiver na horizontal

Passo 1

O enunciado pede a taxa de perda de calor por convecção de um tubo colocado na horizontal. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &D_{\text{ext}} = 5{,}0\\ \text{cm} = 0{,}05\\ \mathrm{m},\\\ &L = 0{,}5\\ \mathrm{m},\\\ &T_s = 155^\circ\mathrm{C},\\\ &T_\infty = 25^\circ\mathrm{C},\\\ &p = 1{,}0\\ \mathrm{atm},\\\ &\text{ambiente sem ventilação (convecção natural).} \end{aligned}çãçã
O que precisamos encontrar: a taxa de perda de calor por convecção \dot{Q} do tubo horizontal (em watts).

Passo 2

Estratégia geral (sem detalhar teoria demais ainda): em convecção natural usamos um coeficiente de transferência convectiva h obtido por correlação empírica (Nusselt) para cilindro horizontal; então
\dot{Q} = h\,A_s\,(T_s-T_\infty),
onde A_s é a área externa do tubo. Primeiro preciso estimar as propriedades do ar no filme térmico e calcular os números adimensionais (Grashof, Rayleigh, Prandtl) para usar a correlação de Nusselt. Vou usar propriedades típicas do ar à temperatura filme T_f=(T_s+T_\infty)/2.

Passo 3

Calculo da temperatura de filme e escolha das propriedades do ar (valores típicos):
T_f=\frac{T_s+T_\infty}{2}=\frac{155+25}{2}=90^\circ\mathrm{C}=363\\ \mathrm{K}.
Propriedades do ar em T_f\approx90^\circ\mathrm{C} (valores geralmente tabelados; aqui uso valores típicos):
\begin{aligned} &k \approx 0{,}032\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\\ &\nu \approx 2{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}\quad(\text{viscosidade cinemática}),\\\ &\mathrm{Pr}\approx 0{,}70\quad(\text{número de Prandtl}),\\\ &\beta \approx \frac{1}{T_f}=\frac{1}{363\\ \mathrm{K}}\approx 0{,}00275\\ \mathrm{K^{-1}}. \end{aligned}áú
Comentário rápido: \beta é a expansibilidade térmica do gás (para gás ideal \beta\approx1/T). Esses valores são aproximados, mas suficientes para uma estimativa de prova.

Passo 4

Cálculo do número de Grashof \mathrm{Gr}_D. Fórmula:
\mathrm{Gr}_D = \frac{g\,\beta\,(T_s-T_\infty)\,D^3}{\nu^2},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, \Delta T = T_s-T_\infty = 130\\ \mathrm{K}, D=0{,}05\\ \mathrm{m}. Substituindo:
\begin{aligned} \mathrm{Gr}_D &= \frac{9{,}81\cdot 0{,}00275\cdot 130\cdot (0{,}05)^3}{(2{,}8\times10^{-5})^2}\\[4pt] &= \frac{9{,}81\cdot 0{,}00275\cdot 130\cdot 1{,}25\times10^{-4}}{7{,}84\times10^{-10}}\\[4pt] &\approx 5{,}59\times10^{5}. \end{aligned}]

Passo 5

Cálculo do número de Rayleigh \mathrm{Ra}_D:
\mathrm{Ra}_D = \mathrm{Gr}_D\cdot\mathrm{Pr} = 5{,}59\times10^{5}\cdot 0{,}70 \approx 3{,}91\times10^{5}.

Passo 6

Escolha da correlação para o número de Nusselt. Para convecção natural em cilindro horizontal uma correlação amplamente usada (Churchill e Chu) é:
\mathrm{Nu}_D = 0{,}60 + \frac{0{,}387\,\mathrm{Ra}_D^{1/6}}{\left[\,1 + \left(\dfrac{0{,}559}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right]^{8/27}}.
Explico os termos:
  • \mathrm{Nu}_D é o número de Nusselt característico com comprimento D.
  • \mathrm{Ra}_D é o número de Rayleigh baseado em D.
  • \mathrm{Pr} é o número de Prandtl.
    Essa correlação é válida para uma ampla faixa de \mathrm{Ra} e é usual em exercícios de convecção natural.

Passo 7

Aplicando a correlação passo a passo:
\mathrm{Ra}_D^{1/6} = (3{,}91\times10^5)^{1/6}\approx 8{,}55.
Calcule o fator do denominador:
\left(\frac{0{,}559}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16} = \left(\frac{0{,}559}{0{,}70}\right)^{9/16} \approx 0{,}799^{0{,}5625}\approx 0{,}881.
Então
\left[1+0{,}881\right]^{8/27}=1{,}881^{0{,}2963}\approx 1{,}2056.
Agora a fração:
\frac{0{,}387\cdot 8{,}55}{1{,}2056}\approx \frac{3{,}31}{1{,}2056}\approx 2{,}746.
Somando o termo constante:
\mathrm{Nu}_D \approx 0{,}60 + 2{,}746 = 3{,}346 \approx 3{,}35.

Passo 8

Cálculo do coeficiente convectivo h:
h = \frac{\mathrm{Nu}_D\,k}{D}.
Substituindo \mathrm{Nu}_D=3{,}346, k=0{,}032\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e D=0{,}05\\ \mathrm{m}:
h = \frac{3{,}346\cdot 0{,}032}{0{,}05} \approx 2{,}14\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Comentário: esse valor de h é pequeno (ordem de alguns \mathrm{W/(m^2K)}), típico de convecção natural em ar.

Passo 9

Cálculo da área externa do tubo e da taxa de calor:
Área lateral do cilindro:
A_s = \pi D L = \pi\cdot 0{,}05\cdot 0{,}5 = \pi\cdot 0{,}025 \approx 0{,}07854\\ \mathrm{m^2}.
Diferença de temperatura:
\Delta T = T_s - T_\infty = 130\\ \mathrm{K}.
Taxa de calor por convecção:
\dot{Q} = h\,A_s\,\Delta T = 2{,}14\cdot 0{,}07854\cdot 130 \approx 21{,}9\\ \mathrm{W}.

Passo 10

Interpretação e verificação rápida: \dot{Q}\approx 22\\ \mathrm{W} é um valor razoável para um tubo quente pequeno no ar sem ventilação. O resultado depende das propriedades do ar usadas (estimação em 90^\circ\mathrm{C} como filme) e da correlação escolhida; porém, para uma prova essa ordem de grandeza e os passos mostrados são o procedimento correto.

Resposta

\dot{Q} \approx 22\\ \mathrm{W}

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