4^{\text {a }} ) Determinar a expressão da velocidade do escoamento saindo de um furo em um tanque é função da altura da lâmina de água, do diâmetro do furo e da gravidade. Escolha como base a gravidade e altura.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a expressão da velocidade do escoamento que sai de um furo em um tanque, em função da altura da lâmina de água, do diâmetro do furo e da gravidade. O enunciado também pede que eu escolha como base a gravidade e a altura.
Informações dadas (que vou usar explicitamente):
  • altura da lâmina de água: h (altura vertical entre a superfície livre da água e o furo);
  • diâmetro do furo: d;
  • aceleração da gravidade: g.
O que preciso entregar: uma expressão para a velocidade de saída v que mostre sua dependência em h, d e g. O enunciado pede que eu escolha como base g e h — portanto farei primeiro uma análise dimensional usando g e h como grandezas base e depois obtendo a expressão teórica (Bernoulli/Torricelli).

Passo 2

Análise dimensional simples (escalamento) — por que escolher g e h como base?
Explicando a ideia: quando queremos prever a escala de uma velocidade num problema onde aparecem a gravidade g e uma altura h, uma combinação óbvia que tem dimensão de velocidade é \sqrt{g h}. Vou mostrar isso de forma direta.
Dimensões:
  • [g] = \mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2},
  • [h] = \mathrm{L}.
A combinação \sqrt{g h} tem dimensão
[\sqrt{g h}] = \sqrt{\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2}\cdot \mathrm{L}} = \mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1},
que é a dimensão de velocidade. Portanto, por análise dimensional, a velocidade de saída deve ter a forma
v = \sqrt{g h}\; \Phi\!\left(\frac{d}{h}\right),
onde \Phi é uma função adimensional que depende apenas da razão adimensional \dfrac{d}{h}. Isso mostra explicitamente a escolha de base g e h: toda velocidade pode ser expressa como \sqrt{g h} vezes uma função adimensional de \dfrac{d}{h}.
Observação didática: a análise dimensional não determina a forma exata de \Phi, apenas o escalamento. Para conhecer \Phi precisamos de teoria (equações de movimento) ou experimento.

Passo 3

Modelagem física e hipóteses para simplificar (para a prova)
Vou usar as hipóteses clássicas que levam à lei de Torricelli (fácil de aplicar em prova):
  • fluido incompressível e de densidade constante;
  • escoamento estacionário e não viscoso (ou viscosidade desprezível);
  • escoamento ideal e sem trabalho de bombas nem perdas por atrito;
  • o furo é pequeno em relação ao tanque, de modo que a velocidade da superfície livre é praticamente nula (superfície livre considerada praticamente estacionária);
  • o furo está em profundidade h abaixo da superfície livre (medida vertical).
Essas hipóteses permitem o uso do princípio de Bernoulli entre a superfície livre do líquido e o orifício.

Passo 4

Aplicando Bernoulli entre a superfície livre e o furo
Explicando Bernoulli (passo a passo e com definições): para um fluido ideal em escoamento permanente, a equação de Bernoulli entre dois pontos 1 e 2 é
\frac{p_1}{\rho} + \frac{v_1^{2}}{2} + g z_1 \;=\; \frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^{2}}{2} + g z_2,
onde
  • p é a pressão absoluta,
  • \rho é a densidade do fluido (constante),
  • v é a velocidade do fluido no ponto,
  • z é a cota vertical (energia potencial gravítica por unidade de massa é g z).
Escolho:
  • ponto 1: na superfície livre da água. Aqui a pressão é a pressão atmosférica p_{\text{atm}}, a velocidade é v_1 (muito pequena se o tanque for grande) e a cota z_1 tomo como zero de referência ou como z_1 = h se eu colocar o furo em z_2=0. Para ser consistente tomo z_1 = h.
  • ponto 2: na saída do furo, logo abaixo do orifício; pressão também é p_{\text{atm}} (saída livre para a atmosfera) e a cota z_2 = 0. A velocidade na saída é v_2 = v, o que queremos achar.
Substituindo na equação de Bernoulli e cancelando p_{\text{atm}}/\rho dos dois lados:
\frac{v_1^{2}}{2} + g h \;=\; \frac{v^{2}}{2} + g\cdot 0.
Como o tanque é grande comparado ao furo, v_1 (velocidade da superfície) é muito pequena e pode ser desprezada: v_1\approx 0. Assim
g h = \frac{v^{2}}{2}.
Isolando v:
v = \sqrt{2 g h}.
Comentário didático: essa é a famosa fórmula de Torricelli. Ela mostra que a velocidade depende apenas de g e h — não aparece o diâmetro d. Isso explica por que, em regime ideal, o diâmetro do furo não altera a velocidade de saída, apenas a vazão volumétrica.

Passo 5

Interpretação física e relação com a forma obtida pela análise dimensional
Compare com o resultado da análise dimensional do Passo 2:
v = \sqrt{g h}\; \Phi\!\left(\frac{d}{h}\right).
A teoria (Bernoulli/Torricelli) nos dá \Phi\!\left(\dfrac{d}{h}\right)=\sqrt{2}, ou seja, \Phi é constante (não depende de d/h). Portanto
v = \sqrt{2}\,\sqrt{g h} = \sqrt{2 g h}.
Isso confirma que, no modelo ideal, a velocidade é independente do diâmetro d.

Passo 6

Vazão volumétrica e papel do diâmetro (importante para a prova)
Embora v não dependa de d no modelo ideal, a vazão volumétrica Q (o volume de água saindo por unidade de tempo) depende do diâmetro, porque Q é área vezes velocidade:
A = \frac{\pi d^{2}}{4}, \qquad Q = A\,v = \frac{\pi d^{2}}{4}\,\sqrt{2 g h}.
Observação prática (não necessariamente pedida, mas útil em provas): em escoamentos reais há perdas e contração do jato no orifício. Introduz-se comumente um coeficiente de descarga C_d (adimensional, típicos 0{,}6 a 0{,}9 dependendo do orifício) e escreve-se
Q = C_d\,\frac{\pi d^{2}}{4}\,\sqrt{2 g h}, \qquad v_{\text{efetiva}} = C_d\,\sqrt{2 g h}.
Isso mostra quando e como o diâmetro e outras imperfeições entram na prática.

Passo 7

Resumo conceitual rápido e dica para a prova
  • Uso de análise dimensional com bases g e h mostra a escala \sqrt{g h}.
  • Aplicando Bernoulli com as hipóteses clássicas obtemos a constante \sqrt{2}, i.e. v=\sqrt{2 g h}.
  • O diâmetro d não altera a velocidade no modelo ideal, mas altera a vazão Q pela área do orifício; em escoamentos reais usa-se C_d para corrigir perdas.
Força extra de ânimo: essa é uma das fórmulas que caem direto em prova — decorar a expressão e saber justificar com Bernoulli e com análise dimensional é o caminho.

Resposta

v=\sqrt{2\,g\,h}
Q=\dfrac{\pi d^{2}}{4}\,\sqrt{2\,g\,h} (no caso real, corrigir por C_d: Q=C_d\dfrac{\pi d^{2}}{4}\sqrt{2gh}).

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