) Determinar a expressão da velocidade do escoamento saindo de um furo em um tanque é função da altura da lâmina de água, do diâmetro do furo e da gravidade. Escolha como base a gravidade e altura.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a expressão da velocidade do escoamento que sai de um furo em um tanque, em função da altura da lâmina de água, do diâmetro do furo e da gravidade. O enunciado também pede que eu escolha como base a gravidade e a altura.
Informações dadas (que vou usar explicitamente):
- altura da lâmina de água:
(altura vertical entre a superfície livre da água e o furo); - diâmetro do furo:
; - aceleração da gravidade:
.
O que preciso entregar: uma expressão para a velocidade de saída
que mostre sua dependência em
,
e
. O enunciado pede que eu escolha como base
e
— portanto farei primeiro uma análise dimensional usando
e
como grandezas base e depois obtendo a expressão teórica (Bernoulli/Torricelli).
Passo 2
Análise dimensional simples (escalamento) — por que escolher
e
como base?
Explicando a ideia: quando queremos prever a escala de uma velocidade num problema onde aparecem a gravidade
e uma altura
, uma combinação óbvia que tem dimensão de velocidade é
. Vou mostrar isso de forma direta.
Dimensões:
-
, -
.
A combinação
tem dimensão
que é a dimensão de velocidade. Portanto, por análise dimensional, a velocidade de saída deve ter a forma
onde
é uma função adimensional que depende apenas da razão adimensional
. Isso mostra explicitamente a escolha de base
e
: toda velocidade pode ser expressa como
vezes uma função adimensional de
.
Observação didática: a análise dimensional não determina a forma exata de
, apenas o escalamento. Para conhecer
precisamos de teoria (equações de movimento) ou experimento.
Passo 3
Modelagem física e hipóteses para simplificar (para a prova)
Vou usar as hipóteses clássicas que levam à lei de Torricelli (fácil de aplicar em prova):
- fluido incompressível e de densidade constante;
- escoamento estacionário e não viscoso (ou viscosidade desprezível);
- escoamento ideal e sem trabalho de bombas nem perdas por atrito;
- o furo é pequeno em relação ao tanque, de modo que a velocidade da superfície livre é praticamente nula (superfície livre considerada praticamente estacionária);
- o furo está em profundidade
abaixo da superfície livre (medida vertical).
Essas hipóteses permitem o uso do princípio de Bernoulli entre a superfície livre do líquido e o orifício.
Passo 4
Aplicando Bernoulli entre a superfície livre e o furo
Explicando Bernoulli (passo a passo e com definições): para um fluido ideal em escoamento permanente, a equação de Bernoulli entre dois pontos 1 e 2 é
onde
-
é a pressão absoluta, -
é a densidade do fluido (constante), -
é a velocidade do fluido no ponto, -
é a cota vertical (energia potencial gravítica por unidade de massa é ).
Escolho:
- ponto 1: na superfície livre da água. Aqui a pressão é a pressão atmosférica
, a velocidade é (muito pequena se o tanque for grande) e a cota tomo como zero de referência ou como se eu colocar o furo em . Para ser consistente tomo . - ponto 2: na saída do furo, logo abaixo do orifício; pressão também é
(saída livre para a atmosfera) e a cota . A velocidade na saída é , o que queremos achar.
Substituindo na equação de Bernoulli e cancelando
dos dois lados:
Como o tanque é grande comparado ao furo,
(velocidade da superfície) é muito pequena e pode ser desprezada:
. Assim
Isolando
:
Comentário didático: essa é a famosa fórmula de Torricelli. Ela mostra que a velocidade depende apenas de
e
— não aparece o diâmetro
. Isso explica por que, em regime ideal, o diâmetro do furo não altera a velocidade de saída, apenas a vazão volumétrica.
Passo 5
Interpretação física e relação com a forma obtida pela análise dimensional
Compare com o resultado da análise dimensional do Passo 2:
A teoria (Bernoulli/Torricelli) nos dá
, ou seja,
é constante (não depende de
). Portanto
Isso confirma que, no modelo ideal, a velocidade é independente do diâmetro
.
Passo 6
Vazão volumétrica e papel do diâmetro (importante para a prova)
Embora
não dependa de
no modelo ideal, a vazão volumétrica
(o volume de água saindo por unidade de tempo) depende do diâmetro, porque
é área vezes velocidade:
Observação prática (não necessariamente pedida, mas útil em provas): em escoamentos reais há perdas e contração do jato no orifício. Introduz-se comumente um coeficiente de descarga
(adimensional, típicos
a
dependendo do orifício) e escreve-se
Isso mostra quando e como o diâmetro e outras imperfeições entram na prática.
Passo 7
Resumo conceitual rápido e dica para a prova
- Uso de análise dimensional com bases
e mostra a escala . - Aplicando Bernoulli com as hipóteses clássicas obtemos a constante
, i.e. . - O diâmetro
não altera a velocidade no modelo ideal, mas altera a vazão pela área do orifício; em escoamentos reais usa-se para corrigir perdas.
Força extra de ânimo: essa é uma das fórmulas que caem direto em prova — decorar a expressão e saber justificar com Bernoulli e com análise dimensional é o caminho.