A equação diferencial
onde
é um inteiro não negativo, foi discutida por diversos autores.
Uma razão para esse interesse é que ela tem uma solução exponencial e uma solução polinomial.
(a) Verifique que uma solução é
.
(b) Mostre que uma segunda solução tem a forma
. Calcule
para
e
2 ; convença-se de que, com
,
(a) Verifique que uma solução é
(b) Mostre que uma segunda solução tem a forma
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
é um inteiro não negativo. Pediu-se:
- (a) Verificar que
é solução. - (b) Mostrar que uma segunda solução pode ser escrita na forma
calcular explicitamente
para
e para
e, finalmente, convencer-se de que escolhendo
obtém-se uma solução polinomial (do grau
).
Informações relevantes: a equação é linear homogênea de segunda ordem e temos uma solução explícita
. Não há imagem nem dados adicionais.
Passo 2
Verificação direta de que
satisfaz a equação. Primeiro calcule as derivadas:
Substituindo na equação dada:
Fatorando
:
Portanto
é de fato uma solução. (Fim da verificação do item (a).)
Passo 3
Agora vamos obter a segunda solução usando o método de redução de ordem (quando se conhece uma solução
). A ideia é procurar uma solução da forma
Vamos calcular
e
:
Substituindo na equação original e fatorando
:
Desenvolvendo e simplificando os termos em
:
O termo em
cancela (verifique:
), ficando
Isto é uma equação de ordem reduzida para
. Defina
. Então
Esta é uma equação linear de primeira ordem em
, que pode ser resolvida separando variáveis. Reescrevendo:
Integrando ambos os lados:
Logo
onde
é constante (absorvi
em
). Integrando
obtemos
Portanto, voltando para
,
A segunda solução independente de
pode ser tomada como a parte que envolve a integral (o termo com
é simplesmente múltiplo de
). Assim concluímos
com
constante arbitrária não nula. (Isto responde a parte inicial do item (b).)
Passo 4
Cálculo explícito para
. Começamos calculando a primitiva
Use integração por partes: escolha
,
. Então
,
. Assim
Multiplicando por
e pelo coeficiente
,
Como explicado antes, o termo proporcional a
é só múltiplo de
; descartando essa parte (ou escolhendo a constante de integração para anulá‑la) obtemos, com
conveniente, uma solução polinomial. Em particular, escolhendo
(que é
) e tomando a constante de integração tal que não haja termo em
, obtemos
Passo 5
Cálculo explícito para
. Primeiro a primitiva
Integre por partes:
,
, então
,
. Assim
Já temos
. Substituindo:
Multiplicando por
e por
:
Novamente, o termo em
é múltiplo de
. Escolhendo
e tomando a constante de integração de modo a anular o termo em
, obtemos a solução polinomial
Passo 6
Generalização e conclusão: podemos mostrar por recorrência (ou usando a identidade do gama incompleta) que, se tomarmos a primitiva com limite inferior
,
Multiplicando por
e escolhendo
obtemos
Desprezando o termo
(que é múltiplo da solução
), ficamos exatamente com o polinômio
que portanto é uma solução polinomial de grau
. Nos exemplos
e
obtivemos respectivamente
e
, em concordância com este resultado geral.
Resposta
(a)
é solução.
(b) Uma segunda solução pode ser escrita como .
Para :
(com
e escolha adequada da constante de integração).
Para :
(com
e escolha adequada da constante de integração).
Com e escolhendo a primitiva com limite inferior
, obtém-se o polinômio
(b) Uma segunda solução pode ser escrita como
Para
Para
Com