Encontre a equação da reta tangente a cada curva dada no ponto indicado:
I(x)=\left(x^{2}+12\right) / x, P(3,7)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
I(x)=\frac{x^{2}+12}{x}
no ponto P(3,7).
O conteúdo principal aqui é cálculo de derivada para obter o coeficiente angular da reta tangente e, em seguida, usar a forma ponto-declive da reta.

Passo 2

Primeiro simplificamos I(x) para aplicar a regra do poder:
I(x) = \frac{x^{2}}{x} + \frac{12}{x} = x + 12x^{-1}.
Para derivar, usamos:
– derivada de x é 1,
– derivada de 12x^{-1} é 12\cdot(-1)x^{-2} = -12x^{-2}.
Logo,
I'(x) = 1 - \frac{12}{x^{2}}.

Passo 3

Avaliaremos a derivada em x=3 para encontrar o coeficiente angular m:
I'(3) = 1 - \frac{12}{3^{2}} = 1 - \frac{12}{9} = 1 - \frac{4}{3} = -\tfrac{1}{3}.
Portanto, m = -\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Usamos a forma ponto-declive da reta tangente:
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}),
onde (x_{0},y_{0})=(3,7) e m=-\tfrac{1}{3}. Assim,
y - 7 = -\tfrac{1}{3}\,(x - 3).
Para escrever em forma y=mx+b, expandimos:
y - 7 = -\tfrac{1}{3}x + 1 \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{1}{3}x + 8.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -\frac{1}{3}\,x + 8.

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