Calcule:
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y, onde D é o disco unitário centrado na origem;

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy
onde D é o disco unitário centrado na origem. Para isso, vamos usar coordenadas polares e lembrar que o jacobiano é r.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi,
e o elemento de área vira dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Assim
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{1} r\,e^{-r^{2}}\,dr.
Fazendo a substituição u=r^{2} du=2r\,dr, obtemos
\int_{0}^{1} r\,e^{-r^{2}}\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-1}\bigr).
Voltando à integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-1}\bigr)\,d\theta = \pi\bigl(1 - e^{-1}\bigr).

Resposta

\pi\bigl(1 - e^{-1}\bigr).

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