Uma esfera de cobre de 10 cm de diâmetro deve ser aquecida de 100^{\circ} \mathrm{C} até a temperatura média de 150^{\circ} \mathrm{C} em 30 minutos. Admitindo que os valores médios da densidade e do calor específico da esfera são p (rô) =8.950 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{cp}=0.395 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{C}, respectivamente, determine: (a) a quantidade total do calor transferido para a esfera de cobre, (b) a taxa média do calor transferido para a esfera (c) o fluxo médio de calor. Os valores médios da densidade e do calor específico do cobre são \mathrm{p}=8.950 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{e} \mathrm{cp}=0,395 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de cobre de diâmetro 10\:\mathrm{cm} que deve ser aquecida de 100^\circ\mathrm{C} até 150^\circ\mathrm{C} (variação de 50\:\mathrm{K}) em 30\:\mathrm{min}. Pede-se:
(a) calor total Q transferido;
(b) taxa média de transferência de calor \dot Q;
(c) fluxo médio de calor q''.
O que vamos usar: densidade \rho, calor específico c_p, geometria de esfera (volume e área), definição de calor sensível Q = m\,c_p\,\Delta T e definições de taxa e fluxo.

Passo 2

Calcular a massa da esfera. O raio é
r = \frac{D}{2} = \frac{0{,}10}{2} = 0{,}05\:\mathrm{m}.
O volume é
V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\,\pi\,(0{,}05)^3 \approx 5{,}236\times 10^{-4}\:\mathrm{m}^3.
Logo a massa é
m = \rho\,V = 8950\:\mathrm{kg/m}^3 \times 5{,}236\times10^{-4}\:\mathrm{m}^3 \approx 4{,}69\:\mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular o calor sensível usando \Delta T=50\:\mathrm{K} e c_p=0{,}395\:\mathrm{kJ/(kg\,K)}:
Q = m\,c_p\,\Delta T = 4{,}69\:\mathrm{kg}\times0{,}395\:\mathrm{kJ/(kg\,K)}\times 50\:\mathrm{K} \approx 92{,}6\:\mathrm{kJ}.

Passo 4

A taxa média de calor é
\dot Q = \frac{Q}{\Delta t} = \frac{92{,}6\:\mathrm{kJ}}{30\:\mathrm{min}} = \frac{92{,}6\:\mathrm{kJ}}{1800\:\mathrm{s}} \approx 0{,}0514\:\mathrm{kJ/s} =51{,}4\:\mathrm{W}.

Passo 5

Para o fluxo de calor usamos a área da superfície da esfera
A = 4\pi r^2 = 4\,\pi\,(0{,}05)^2 \approx 0{,}0314\:\mathrm{m}^2.
O fluxo médio é
q'' = \frac{\dot Q}{A} = \frac{51{,}4\:\mathrm{W}}{0{,}0314\:\mathrm{m}^2} \approx 1{,}64\times10^3\:\mathrm{W/m^2}.

Resposta

(a) Q \approx 92{,}6\:\mathrm{kJ}.
(b) \dot Q \approx 51{,}4\:\mathrm{W}.
(c) q'' \approx 1{,}64\times10^3\:\mathrm{W/m^2}.

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