Questão (15 pontos)- Calcule o acréscimo de tensões sobre planos horizontais a 3 m de profundidade causado pela sobrecarga concentrada de 15000 kN na superfície do terreno, com:
3 metros de afastamento lateral.
3 metros de afastamento lateral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o acréscimo de tensão vertical sobre planos horizontais a 3 m de profundidade causado por uma sobrecarga concentrada aplicada na superfície. Dados fornecidos (peguei estes valores da figura/anúncio do enunciado):
- Sobrecarga pontual:
. - Profundidade do plano onde se quer a tensão:
. - Afastamento horizontal entre o ponto de aplicação da carga e o ponto
: .
A pergunta a responder é: qual é o acréscimo de tensão vertical
em
(a
de profundidade e
lateral)?
Passo 2
Qual fórmula usar e por quê (explicação didática e simples).
- Para uma carga concentrada
aplicada na superfície de um meio elástico semi-infinito, a solução clássica de Boussinesq dá o acréscimo de tensão vertical em um ponto a profundidade e a distância radial como:
- O que cada símbolo significa:
-
: carga concentrada (em kN). -
: profundidade vertical do ponto onde se calcula a tensão (em m). -
: distância horizontal (planta) entre a projeção da carga e o ponto considerado (em m). -
: acréscimo de tensão vertical no ponto (em kN/m , que é kPa).
-
- Intuição curta: o fator
é um “fator de influência” que diminui quando o ponto está mais afastado lateralmente ou mais profundo.
Uma forma útil para calcular é definir o fator de influência
:
Passo 3
Calcular
e sua potência
:
- Primeiro:
- Em seguida:
- Calcular
:
- Portanto:
Passo 4
Calcular o fator de influência
usando os valores conhecidos:
- Numerador de
:
- Agora o fator completo:
- Calcule numericamente
:
- Então o denominador composto:
- Assim:
(mais precisamente
, a unidade vem de dividir kN por m^2 depois de multiplicar por
.)
Passo 5
Calcular
:
- Substituindo
:
- Em unidades comuns de pressão:
Passo 6
Interpretação e verificação rápida:
- O acréscimo de tensão no ponto
é cerca de . Faz sentido qualitativo: a carga é grande, e quando e são iguais (a 45° em relação à carga), o fator de influência é da ordem de , gerando algumas centenas de kPa para dessa magnitude. - Unidade final: como
foi em kN e o fator tem dimensão , o resultado é em kN/m , que é exatamente kPa.
Passo 7
Dica prática para a prova (resumo rápido e fácil de memorizar):
- Memorize a forma da solução de Boussinesq para carga concentrada:
- Passos rápidos em prova:
- Calcule
. - Eleve a
: calcule . - Calcule o numerador
e divida por . - Lembre que o resultado sai em kPa se
estiver em kN e em m.
- Calcule