1^{\text {a }} Questão (15 pontos)- Calcule o acréscimo de tensões sobre planos horizontais a 3 m de profundidade causado pela sobrecarga concentrada de 15000 kN na superfície do terreno, com:
3 metros de afastamento lateral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o acréscimo de tensão vertical sobre planos horizontais a 3 m de profundidade causado por uma sobrecarga concentrada aplicada na superfície. Dados fornecidos (peguei estes valores da figura/anúncio do enunciado):
  • Sobrecarga pontual: Q = 15000\\ \text{kN}.
  • Profundidade do plano onde se quer a tensão: z = 3\\ \text{m}.
  • Afastamento horizontal entre o ponto de aplicação da carga e o ponto A: r = 3\\ \text{m}.
A pergunta a responder é: qual é o acréscimo de tensão vertical \Delta\sigma_z em A (a 3\\ \text{m} de profundidade e 3\\ \text{m} lateral)?

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (explicação didática e simples).
  • Para uma carga concentrada Q aplicada na superfície de um meio elástico semi-infinito, a solução clássica de Boussinesq dá o acréscimo de tensão vertical em um ponto a profundidade z e a distância radial r como:
\Delta\sigma_z \;=\; \frac{3Q}{2\pi}\,\frac{z^{3}}{(r^{2}+z^{2})^{5/2}}.
  • O que cada símbolo significa:
    • Q: carga concentrada (em kN).
    • z: profundidade vertical do ponto onde se calcula a tensão (em m).
    • r: distância horizontal (planta) entre a projeção da carga e o ponto considerado (em m).
    • \Delta\sigma_z: acréscimo de tensão vertical no ponto (em kN/m ^2, que é kPa).
  • Intuição curta: o fator \dfrac{3}{2\pi}\dfrac{z^3}{(r^2+z^2)^{5/2}} é um “fator de influência” que diminui quando o ponto está mais afastado lateralmente ou mais profundo.
Uma forma útil para calcular é definir o fator de influência I_z:
I_z = \frac{3}{2\pi}\,\frac{z^{3}}{(r^{2}+z^{2})^{5/2}}, \quad\text{e então}\quad \Delta\sigma_z = Q\cdot I_z.ã

Passo 3

Calcular r^{2}+z^{2} e sua potência ^{5/2}:
  • Primeiro:
r^{2}+z^{2} = 3^{2} + 3^{2} = 9 + 9 = 18.
  • Em seguida:
(r^{2}+z^{2})^{5/2} = 18^{5/2} = (18^{2})\cdot(18^{1/2}) = 324\cdot\sqrt{18}.
  • Calcular \sqrt{18}:
\sqrt{18}\approx 4,242640687.
  • Portanto:
18^{5/2} \approx 324\cdot 4,242640687 \approx 1374,615583.

Passo 4

Calcular o fator de influência I_z usando os valores conhecidos:
  • Numerador de I_z:
\frac{3}{2\pi}\,z^{3} = \frac{3}{2\pi}\cdot 3^{3} = \frac{3}{2\pi}\cdot 27 = \frac{81}{2\pi}.
  • Agora o fator completo:
I_z = \frac{81}{2\pi}\cdot \frac{1}{(r^{2}+z^{2})^{5/2}} = \frac{81}{2\pi}\cdot \frac{1}{1374,615583}.
  • Calcule numericamente 2\pi:
2\pi \approx 6,283185307.
  • Então o denominador composto:
2\pi\cdot 1374,615583 \approx 8636,963708.
  • Assim:
I_z \approx \frac{81}{8636,963708} \approx 0,009383.
(mais precisamente I_z\approx 0,009383\\ \text{m}^{-2}, a unidade vem de dividir kN por m^2 depois de multiplicar por Q.)

Passo 5

Calcular \Delta\sigma_z = Q\cdot I_z:
  • Substituindo Q = 15000\\ \text{kN}:
\Delta\sigma_z \approx 15000 \cdot 0,009383 \approx 140,745\\ \text{kN/m}^{2}.
  • Em unidades comuns de pressão:
\Delta\sigma_z \approx 140,7\\ \text{kPa}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida:
  • O acréscimo de tensão no ponto A é cerca de 141\\ \text{kPa}. Faz sentido qualitativo: a carga é grande, e quando r e z são iguais (a 45° em relação à carga), o fator de influência é da ordem de 10^{-2}, gerando algumas centenas de kPa para Q dessa magnitude.
  • Unidade final: como Q foi em kN e o fator tem dimensão 1/\text{m}^{2}, o resultado é em kN/m ^2, que é exatamente kPa.

Passo 7

Dica prática para a prova (resumo rápido e fácil de memorizar):
  • Memorize a forma da solução de Boussinesq para carga concentrada:
\Delta\sigma_z = \frac{3Q}{2\pi}\,\frac{z^{3}}{(r^{2}+z^{2})^{5/2}}.
  • Passos rápidos em prova:
    1. Calcule r^{2}+z^{2}.
    2. Eleve a 5/2: calcule (r^{2}+z^{2})^{5/2}.
    3. Calcule o numerador 3Q z^{3} e divida por 2\pi (r^{2}+z^{2})^{5/2}.
    4. Lembre que o resultado sai em kPa se Q estiver em kN e r,z em m.

Resposta

\Delta\sigma_z \approx 140,7\\ \text{kPa}

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