Questão (15 pontos) - Uma placa circular de 3,0 metros de raio apoiada sobre a superfície de um terreno representa um carregamento uniformemente distribuído de
.
Calcule o acréscimo de tensão gerado no centro da placa em 6 metros de profundidade.
Calcule o acréscimo de tensão gerado no centro da placa em 6 metros de profundidade.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular o acréscimo da tensão vertical (
) no centro da placa, a uma profundidade de .
Informações dadas (pego do enunciado):
- Raio da placa:
. - Carregamento uniformemente distribuído na superfície:
. - Profundidade onde se deseja a tensão:
.
Passo 2
Escolha do método:
- Para uma área circular carregada uniformemente, a forma apropriada (e clássica) para calcular a tensão vertical no eixo (no centro) a uma profundidade
é usar a solução elástica que resulta da integração das contribuições de anéis concêntricos (superposição das soluções de Boussinesq para cargas pontuais). Essa abordagem é direta e suficiente para provas/questões de mecânica dos solos sem precisar de tabelas. - Vou apresentar a expressão final e mostrá-la por integração (didaticamente), e depois substituir os números.
Passo 3
Fórmula e derivação (passo a passo didático):
- Considere a placa como soma de anéis concêntricos de raio
e espessura . A carga sobre um anel é . - A expressão de Boussinesq para a tensão vertical gerada por uma carga pontual
na superfície, no ponto sob o centro a profundidade , é
onde
é a distância radial da carga pontual ao eixo (aqui será o raio do elemento de anel). Aplicando isso ao anel (tomando
) obtemos a contribuição vertical do anel:
- Integramos
de a para obter a tensão total no centro:
- Para resolver a integral, faça a substituição
, logo e . Os limites vão de até . Assim
- Calcule a integral:
. Substituindo,
- Simplificando,
Essa é a fórmula que vamos usar. Aqui:
-
é a pressão uniforme na superfície ( ); -
é o raio da placa ( ); -
é a profundidade medida a partir da superfície ( ); -
é o acréscimo de tensão vertical no centro à profundidade ( ).
Passo 4
Aplicando os valores numéricos:
- Primeiro calcule a razão
:
- Calcule a expressão interna:
- Eleve a
: - Tome o inverso:
- Agora a fração entre colchetes:
- Multiplicando por
:
Passo 5
Arredondamento e interpretação final:
- Arredondando com 3 algarismos significativos, obtemos
. - Em unidades equivalentes:
.