3{ }^{\text {a }} Questão (15 pontos) - Uma placa circular de 3,0 metros de raio apoiada sobre a superfície de um terreno representa um carregamento uniformemente distribuído de 280 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}.
Calcule o acréscimo de tensão gerado no centro da placa em 6 metros de profundidade.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o acréscimo da tensão vertical ( \Delta\sigma_z) no centro da placa, a uma profundidade de 6\\ \text{m}.
Informações dadas (pego do enunciado):
  • Raio da placa: a = 3{,}0\\ \text{m}.
  • Carregamento uniformemente distribuído na superfície: q = 280\\ \text{kN}/\text{m}^2.
  • Profundidade onde se deseja a tensão: z = 6{,}0\\ \text{m}.

Passo 2

Escolha do método:
  • Para uma área circular carregada uniformemente, a forma apropriada (e clássica) para calcular a tensão vertical no eixo (no centro) a uma profundidade z é usar a solução elástica que resulta da integração das contribuições de anéis concêntricos (superposição das soluções de Boussinesq para cargas pontuais). Essa abordagem é direta e suficiente para provas/questões de mecânica dos solos sem precisar de tabelas.
  • Vou apresentar a expressão final e mostrá-la por integração (didaticamente), e depois substituir os números.

Passo 3

Fórmula e derivação (passo a passo didático):
  • Considere a placa como soma de anéis concêntricos de raio r e espessura dr. A carga sobre um anel é dP = q\cdot 2\pi r\,dr.
  • A expressão de Boussinesq para a tensão vertical gerada por uma carga pontual P na superfície, no ponto sob o centro a profundidade z, é
\Delta\sigma_z^{(P)}=\frac{3P\,z^3}{2\pi (r^2+z^2)^{5/2}},
onde r é a distância radial da carga pontual ao eixo (aqui será o raio do elemento de anel). Aplicando isso ao anel (tomando dP) obtemos a contribuição vertical do anel:
d(\Delta\sigma_z)=\frac{3\,z^3}{2\pi (r^2+z^2)^{5/2}}\;dP =\frac{3\,z^3}{2\pi (r^2+z^2)^{5/2}}\;q\cdot 2\pi r\,dr =3q\,z^3\frac{r\,dr}{(r^2+z^2)^{5/2}}.
  • Integramos r de 0 a a para obter a tensão total no centro:
\Delta\sigma_z=3q\,z^3\int_{0}^{a}\frac{r\,dr}{(r^2+z^2)^{5/2}}.
  • Para resolver a integral, faça a substituição u=r^2+z^2, logo du=2r\,dr e r\,dr=\tfrac{1}{2}du. Os limites vão de u=z^2 até u=a^2+z^2. Assim
\Delta\sigma_z=3q\,z^3\cdot\frac{1}{2}\int_{z^2}^{a^2+z^2}u^{-5/2}du.
  • Calcule a integral: \displaystyle\int u^{-5/2}du=-\frac{2}{3}u^{-3/2}. Substituindo,
\Delta\sigma_z=3q\,z^3\cdot\frac{1}{2}\left[-\frac{2}{3}u^{-3/2}\right]_{z^2}^{a^2+z^2} = -q z^3\left[(a^2+z^2)^{-3/2}-(z^2)^{-3/2}\right].
  • Simplificando,
\Delta\sigma_z = q\left[1 - \frac{z^3}{(a^2+z^2)^{3/2}}\right] = q\left[1 - \left(1+\left(\frac{a}{z}\right)^2\right)^{-3/2}\right].
Essa é a fórmula que vamos usar. Aqui:
  • q é a pressão uniforme na superfície ( \text{kN}/\text{m}^2);
  • a é o raio da placa ( \text{m});
  • z é a profundidade medida a partir da superfície ( \text{m});
  • \Delta\sigma_z é o acréscimo de tensão vertical no centro à profundidade z ( \text{kN}/\text{m}^2).

Passo 4

Aplicando os valores numéricos:
  • Primeiro calcule a razão \dfrac{a}{z}:
\frac{a}{z}=\frac{3{,}0}{6{,}0}=0{,}5.
  • Calcule a expressão interna:
1+\left(\frac{a}{z}\right)^2=1+(0{,}5)^2=1+0{,}25=1{,}25.
  • Eleve a 3/2: (1{,}25)^{3/2}=1{,}25\cdot\sqrt{1{,}25}\approx 1{,}25\cdot 1{,}1180339\approx 1{,}39754.
  • Tome o inverso: \left(1{,}25\right)^{-3/2}\approx 0{,}715542.
  • Agora a fração entre colchetes:
1-\left(1+\left(\frac{a}{z}\right)^2\right)^{-3/2}\approx 1-0{,}715542=0{,}284458.
  • Multiplicando por q:
\Delta\sigma_z \approx 280\cdot 0{,}284458 \approx 79{,}647\\ \text{kN}/\text{m}^2.

Passo 5

Arredondamento e interpretação final:
  • Arredondando com 3 algarismos significativos, obtemos \Delta\sigma_z \approx 79{,}6\\ \text{kN}/\text{m}^2.
  • Em unidades equivalentes: 79{,}6\\ \text{kN}/\text{m}^2 = 79{,}6\\ \text{kPa}.

Resposta

\,79{,}6\\ \text{kN}/\text{m}^2

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