Questão (15 pontos) - Uma placa circular de 3,0 metros de raio apoiada sobre a superfície de um terreno representa um carregamento uniformemente distribuído de
.
Calcule o acréscimo de tensão gerado na borda da placa em 6 metros de profundidade.
Calcule o acréscimo de tensão gerado na borda da placa em 6 metros de profundidade.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o acréscimo de tensão vertical gerado pela placa circular, no ponto que fica na borda da placa a uma profundidade de
.
Informações dadas:
- Raio da placa:
(portanto o diâmetro é ). - Carregamento uniformemente distribuído sobre a placa:
. - Profundidade onde se quer a tensão:
. - O ponto onde se deseja a tensão está “na borda da placa”, isto é, na vertical localizada a uma distância radial
do centro igual ao raio: .
O que preciso fornecer: o acréscimo de tensão vertical
(em
ou
) no ponto com coordenadas horizontais tal que
e profundidade
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática e simples).
- Em mecânica dos solos, para calcular o acréscimo de tensão vertical causado por uma carga distribuída sobre a superfície, usa-se a solução de Boussinesq (ou integrações dela) para obter um “fator de influência” que multiplica a pressão
. - Para uma placa circular carregada uniformemente, existe uma fórmula conhecida, obtida integrando a solução de Boussinesq sobre a área circular. Essa fórmula dá diretamente a tensão vertical em um ponto qualquer em profundidade
e distância radial do centro.
A fórmula que vamos usar (já pronta, resultado da integração) é a seguinte:
onde
O que significa cada símbolo:
-
é a pressão uniforme aplicada na superfície ( ). -
é o raio da placa ( ). -
é a distância horizontal do ponto ao centro da placa (no nosso caso, estamos na borda, então ). -
é a profundidade do ponto ( ). -
é um ângulo (em radianos) calculado pela expressão dentro do arco cosseno; e são as funções trigonométricas desse ângulo. - O termo entre colchetes é o fator de influência adimensional
; então .
Observação didática: essa fórmula vem de somar as contribuições de todos os pontos da área carregada, usando a solução para uma carga pontual em um meio elástico semi-infinito (Boussinesq). Não precisamos refazer essa integração aqui — usamos o resultado pronto e aplicamos aos nossos números.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao nosso caso, substituindo
,
,
e
.
Primeiro calculemos os termos auxiliares:
Agora a razão dentro do arco cosseno:
Portanto
Calculemos
e
. Já temos
. Então
Logo
Agora compute o termo
:
Dividindo por
:
Finalmente o fator de influência:
Passo 4
Calcule o acréscimo de tensão
multiplicando
pelo fator de influência:
Arredondando razoavelmente para a precisão dos dados (dados em 3 algarismos significativos), podemos escrever
(ou
).
Pequeno comentário de incentivo: dá um trabalhinho com trigonometria mas a ideia é simples — usamos um fator de influência que vem da solução clássica; você já aprendeu a aplicar! Vamos em frente, está indo bem.
Resposta
203,05