3{ }^{\text {a }} Questão (15 pontos) - Uma placa circular de 3,0 metros de raio apoiada sobre a superfície de um terreno representa um carregamento uniformemente distribuído de 280 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}.
Calcule o acréscimo de tensão gerado na borda da placa em 6 metros de profundidade.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o acréscimo de tensão vertical gerado pela placa circular, no ponto que fica na borda da placa a uma profundidade de 6\\ \text{m}.
Informações dadas:
  • Raio da placa: a=3{,}0\\ \text{m} (portanto o diâmetro é 6\\ \text{m}).
  • Carregamento uniformemente distribuído sobre a placa: q=280\\ \text{kN}/\text{m}^2.
  • Profundidade onde se quer a tensão: z=6\\ \text{m}.
  • O ponto onde se deseja a tensão está “na borda da placa”, isto é, na vertical localizada a uma distância radial r do centro igual ao raio: r=a=3{,}0\\ \text{m}.
O que preciso fornecer: o acréscimo de tensão vertical \Delta\sigma_z (em \text{kN}/\text{m}^2 ou \text{kPa}) no ponto com coordenadas horizontais tal que r=a e profundidade z=6\\ \text{m}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática e simples).
  • Em mecânica dos solos, para calcular o acréscimo de tensão vertical causado por uma carga distribuída sobre a superfície, usa-se a solução de Boussinesq (ou integrações dela) para obter um “fator de influência” que multiplica a pressão q.
  • Para uma placa circular carregada uniformemente, existe uma fórmula conhecida, obtida integrando a solução de Boussinesq sobre a área circular. Essa fórmula dá diretamente a tensão vertical em um ponto qualquer em profundidade z e distância radial r do centro.
A fórmula que vamos usar (já pronta, resultado da integração) é a seguinte:
\Delta\sigma_z = q\left[1-\dfrac{1}{\pi}\Bigl(\varphi+\sin\varphi\cos\varphi\Bigr)\right],
onde
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{r^{2}+z^{2}-a^{2}}{2r\sqrt{r^{2}+z^{2}}}\right).
O que significa cada símbolo:
  • q é a pressão uniforme aplicada na superfície ( 280\\ \text{kN}/\text{m}^2).
  • a é o raio da placa ( 3{,}0\\ \text{m}).
  • r é a distância horizontal do ponto ao centro da placa (no nosso caso, estamos na borda, então r=a).
  • z é a profundidade do ponto ( 6\\ \text{m}).
  • \varphi é um ângulo (em radianos) calculado pela expressão dentro do arco cosseno; \sin\varphi e \cos\varphi são as funções trigonométricas desse ângulo.
  • O termo entre colchetes é o fator de influência adimensional I_z; então \Delta\sigma_z = q\cdot I_z.
Observação didática: essa fórmula vem de somar as contribuições de todos os pontos da área carregada, usando a solução para uma carga pontual em um meio elástico semi-infinito (Boussinesq). Não precisamos refazer essa integração aqui — usamos o resultado pronto e aplicamos aos nossos números.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao nosso caso, substituindo r=a=3\\ \text{m}, z=6\\ \text{m}, a=3\\ \text{m} e q=280\\ \text{kN}/\text{m}^2.
Primeiro calculemos os termos auxiliares:
r^{2}+z^{2}=3^{2}+6^{2}=9+36=45.
\sqrt{r^{2}+z^{2}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\approx6{,}7082039325.
r^{2}+z^{2}-a^{2}=45-3^{2}=45-9=36.
2r\sqrt{r^{2}+z^{2}}=2\cdot 3\cdot 6{,}7082039325\approx40{,}249223595.
Agora a razão dentro do arco cosseno:
\frac{r^{2}+z^{2}-a^{2}}{2r\sqrt{r^{2}+z^{2}}}=\frac{36}{40{,}249223595}\approx0{,}894427191.
Portanto
\varphi=\operatorname{arccos}(0{,}894427191)\approx0{,}463647609\\ \text{rad}.
Calculemos \sin\varphi e \cos\varphi. Já temos \cos\varphi\approx0{,}894427191. Então
\sin\varphi=\sqrt{1-\cos^{2}\varphi}=\sqrt{1-0{,}894427191^{2}}=\sqrt{1-0{,}8}=\sqrt{0{,}2}\approx0{,}4472135955.
Logo
\sin\varphi\cos\varphi\approx0{,}4472135955\times0{,}894427191\approx0{,}400000000.
Agora compute o termo \varphi+\sin\varphi\cos\varphi:
\varphi+\sin\varphi\cos\varphi\approx0{,}463647609+0{,}400000000=0{,}863647609.
Dividindo por \pi:
\dfrac{1}{\pi}\bigl(\varphi+\sin\varphi\cos\varphi\bigr)\approx\dfrac{0{,}863647609}{\pi}\approx0{,}274824.
Finalmente o fator de influência:
I_z=1-0{,}274824\approx0{,}725176.

Passo 4

Calcule o acréscimo de tensão \Delta\sigma_z multiplicando q pelo fator de influência:
\Delta\sigma_z = q\cdot I_z = 280\\ \text{kN}/\text{m}^2 \times 0{,}725176 \approx 203{,}05\\ \text{kN}/\text{m}^2.
Arredondando razoavelmente para a precisão dos dados (dados em 3 algarismos significativos), podemos escrever \Delta\sigma_z \approx 203\\ \text{kN}/\text{m}^2 (ou 203\\ \text{kPa}).
Pequeno comentário de incentivo: dá um trabalhinho com trigonometria mas a ideia é simples — usamos um fator de influência que vem da solução clássica; você já aprendeu a aplicar! Vamos em frente, está indo bem.

Resposta

203,05 \text{kN}/\text{m}^2

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