5{ }^{\text {a }} Questão ( 20 pontos) Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{1-|x|}{1+x}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -1}\frac{1-|x|}{1+x}.
Informações dadas: a função é \dfrac{1-|x|}{1+x} e o ponto de interesse é x\to -1. É preciso verificar se o limite existe e, em caso afirmativo, encontrar o seu valor.

Passo 2

Entender o valor de |x|\) perto de \(x=-1\). Lembrete sobre valor absoluto: por definição \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Isto significa que, para qualquer x\] negativo, \(|x|=-x.]

Passo 3

Observar o sinal de x quando x está próximo de -1. Para valores próximos de -1 — por exemplo em qualquer intervalo como (-2,0) — temos x<0. Portanto, ao aproximarmo-nos de -1 pela esquerda ou pela direita (exceto exatamente em x=-1), sempre temos x<0. Logo, próximo de -1 vale a expressão |x|=-x.

Passo 4

Substituir |x|=-x na expressão quando x está perto de -1 (e x\neq -1):
\frac{1-|x|}{1+x}=\frac{1-(-x)}{1+x}=\frac{1+x}{1+x},\qquad\text{para }x\neq -1\text{ e }x<0.

Passo 5

Para x\neq -1 com x próximo de -1 a fração simplifica-se:
\frac{1+x}{1+x}=1.
Portanto a função vale 1 em toda uma vizinhança de -1, exceto no próprio ponto x=-1 (onde a expressão original está indeterminada). Como os limites laterais têm o mesmo valor (ambos iguais a 1), o limite existe e é 1.

Resposta

1

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