Questão ( 20 pontos) Calcule o limite, se existir:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a função é
e o ponto de interesse é
. É preciso verificar se o limite existe e, em caso afirmativo, encontrar o seu valor.
Passo 2
Entender o valor de
Isto significa que, para qualquer
.]
Passo 3
Observar o sinal de
quando
está próximo de
. Para valores próximos de
— por exemplo em qualquer intervalo como
— temos
. Portanto, ao aproximarmo-nos de
pela esquerda ou pela direita (exceto exatamente em
), sempre temos
. Logo, próximo de
vale a expressão
.
Passo 4
Substituir
na expressão quando
está perto de
(e
):
Passo 5
Para
com
próximo de
a fração simplifica-se:
Portanto a função vale
em toda uma vizinhança de
, exceto no próprio ponto
(onde a expressão original está indeterminada). Como os limites laterais têm o mesmo valor (ambos iguais a
), o limite existe e é
.