5{ }^{\text {a }} Questão ( 20 pontos) Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{e^{x}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\pi}\frac{e^{x}}{x^{2}}.
Informações dadas (explicitamente no enunciado):
  • A função em questão é f(x)=\dfrac{e^{x}}{x^{2}}.
  • O ponto onde x se aproxima é x=\pi.
O que se pede: encontrar o valor desse limite, se ele existir.

Passo 2

Lembrete teórico (ferramenta principal que vamos usar). Há uma regra de limites muito útil e frequentemente usada em provas:
\text{Se } \lim_{x\to a}g(x)=G,\quad \lim_{x\to a}h(x)=H\quad\text{e}\quad H\neq 0,
então
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{G}{H}.
Em palavras: o limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero. Esta propriedade vale quando os limites das partes existem finitos.
Também é útil saber que funções elementares como a função exponencial x\mapsto e^{x} e polinômios x\mapsto x^{2} são contínuas em todo \mathbb{R}. Para uma função contínua f tem-se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a),
ou seja, pode-se simplesmente substituir x=a para obter o limite.

Passo 3

Calcular o limite do numerador. A função x\mapsto e^{x} é contínua em todo \mathbb{R}, portanto
\lim_{x\to\pi} e^{x}=e^{\pi}.
Explicando por que isso vale (de forma simples): a exponencial é definida por uma série de potências que converge para todo x, e séries convergentes definem funções contínuas; por isso a substituição direta é válida.

Passo 4

Calcular o limite do denominador. A função x\mapsto x^{2} é um polinômio e, assim, é contínua em todo \mathbb{R}. Logo
\lim_{x\to\pi} x^{2}=\pi^{2}.

Passo 5

Verificar que o limite do denominador não é zero: \pi^{2}>0, portanto \pi^{2}\neq 0. Assim podemos aplicar a regra do quociente de limites mencionada no Passo 2.

Passo 6

Aplicando a regra do quociente com os resultados dos passos anteriores obtemos
\lim_{x\to\pi}\frac{e^{x}}{x^{2}}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to\pi}e^{x}}{\displaystyle\lim_{x\to\pi}x^{2}}=\frac{e^{\pi}}{\pi^{2}}.
Se quiser uma ideia numérica rápida, \dfrac{e^{\pi}}{\pi^{2}}\approx 2{,}34 (apenas para referência; o valor exato é \dfrac{e^{\pi}}{\pi^{2}}).

Resposta

\dfrac{e^{\pi}}{\pi^{2}}

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