Questão ( 20 pontos) Calcule o limite, se existir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas (explicitamente no enunciado):
- A função em questão é
. - O ponto onde
se aproxima é .
O que se pede: encontrar o valor desse limite, se ele existir.
Passo 2
Lembrete teórico (ferramenta principal que vamos usar). Há uma regra de limites muito útil e frequentemente usada em provas:
então
Em palavras: o limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero. Esta propriedade vale quando os limites das partes existem finitos.
Também é útil saber que funções elementares como a função exponencial
e polinômios
são contínuas em todo
. Para uma função contínua
tem-se
ou seja, pode-se simplesmente substituir
para obter o limite.
Passo 3
Calcular o limite do numerador. A função
é contínua em todo
, portanto
Explicando por que isso vale (de forma simples): a exponencial é definida por uma série de potências que converge para todo
, e séries convergentes definem funções contínuas; por isso a substituição direta é válida.
Passo 4
Calcular o limite do denominador. A função
é um polinômio e, assim, é contínua em todo
. Logo
Passo 5
Verificar que o limite do denominador não é zero:
, portanto
. Assim podemos aplicar a regra do quociente de limites mencionada no Passo 2.
Passo 6
Aplicando a regra do quociente com os resultados dos passos anteriores obtemos
Se quiser uma ideia numérica rápida,
(apenas para referência; o valor exato é
).