3^{\text {a }} Questão (24 pontos) - Numa rede de difração incide ortogonalmente luz branca ( 400 nm a 700 nm ). O espectro de segunda ordem fica dentro de um desvio angular de 15^{\circ} raios dos difratados. A) Qual á a distância entre as linhas da rede? B) Quantas ordens completas existem para a luz branca? C) Em que ângulo os comprimentos de onda de 400 nm e 600 nm se superpõem? D) Qual o número de linha desta rede se ela resolve os comprimentos de onda de 400 nm e 400,01 \mathrm{~nm} em primeira ordem?

Passo 1

O enunciado descreve uma rede de difração onde incide luz branca (comprimentos de onda de 400 nm a 700 nm) ortogonalmente, e na segunda ordem o espectro inteiro cabe num intervalo angular de 15^\circ. Precisamos usar:
  1. A equação da rede para incidência normal
\sin\theta_{m} = \frac{m\,\lambda}{d}
onde d é o espaçamento entre as linhas e m a ordem de difração.
2. A condição de número máximo de ordens completas m_{\max} tal que m\,\lambda_{\max}\le d.
3. As sobreposições de ordens via
m_1\,\lambda_1 = m_2\,\lambda_2.
  1. O poder de resolução da rede
R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = m\,N,
onde N é o número de linhas iluminadas.

Passo 2

Para achar d (parte A) impomos que, na segunda ordem ( m=2), o ângulo para \lambda_{\min}=400 nm e para \lambda_{\max}=700 nm difratados satisfaça
\theta_2(700) - \theta_2(400) \;=\; 15^\circ \quad\text{com}\quad \theta_2(\lambda)=\arcsin\!\bigl(2\,\lambda/d\bigr).
Isto leva à equação transcendental
\arcsin\!\bigl(2\cdot700/d\bigr)\;-\;\arcsin\!\bigl(2\cdot400/d\bigr)\;=\;15^\circ.
Resolvendo numericamente (por tentativa e ajuste) encontra-se
d \approx 2{,}55\times10^{-6}\,\mathrm{m}.

Passo 3

Para o número de ordens completas (parte B) usamos que em cada ordem m deve valer \sin\theta_m\le1, ou seja
m\,\lambda_{\max}\le d.
Com d\approx2{,}55 \times10^{-6},m e \lambda_{\max}=700 nm,
m_{\max} = \Bigl\lfloor\frac{d}{\lambda_{\max}}\Bigr\rfloor = \Bigl\lfloor\frac{2{,}55\times10^{-6}}{700\times10^{-9}}\Bigr\rfloor = \lfloor3{,}64\rfloor = 3.
Logo há 3 ordens completas de luz branca.

Passo 4

Para encontrar o ângulo onde \lambda_1=400 nm e \lambda_2=600 nm se superpõem (parte C) igualamos ordens diferentes:
m_1\,\lambda_1 = m_2\,\lambda_2 \;\Longrightarrow\;\frac{m_1}{m_2}=\frac{600}{400}=\frac{3}{2}.
A menor solução inteira é m_1=3,\;m_2=2. O ângulo é então
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{m_1\,\lambda_1}{d}\bigr) = \arcsin\!\bigl(\tfrac{3\cdot400\\ \text{nm}}{2550\\ \text{nm}}\bigr) \approx 28^\circ.

Passo 5

Para resolver na primeira ordem \lambda=400 nm e \lambda+Δ\lambda=400{,}01 nm (parte D) usamos o poder de resolução
R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = m\,N.
Em primeira ordem ( m=1) temos
N = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = \frac{400\\ \text{nm}}{0{,}01\\ \text{nm}} = 4\times10^{4}.

Resposta

A) d \approx 2{,}55\times10^{-6}\,\mathrm{m}.
B) Existem 3 ordens completas.
C) \theta \approx 28^\circ.
D) São necessárias N = 4\times10^{4} linhas.

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