Movimento retilíneo. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo y é dada em metros por:
y(t)=3,20+0,800 t^{4},,
onde t está em segundos.
Encontre a velocidade instantânea quando a partícula está na posição média entre y(1,00 s) e y(2,00 s).

Passo 1

O enunciado fornece a lei horária da posição de uma partícula em movimento retilíneo ao longo do eixo y:
y(t)=3,20+0,800\,t^{4}
e pede a velocidade instantânea quando a partícula estiver na posição média entre y(1{,}00\:\mathrm{s}) e y(2{,}00\:\mathrm{s}). Para isso, vamos (1) calcular essas posições, (2) obter o valor médio, (3) achar o instante correspondente e (4) usar a derivada de y(t).

Passo 2

Calcular y(1{,}00), y(2{,}00) e o valor médio:
y(1)=3,20+0,800\cdot1^{4}=4,00
y(2)=3,20+0,800\cdot2^{4}=3,20+0,800\cdot16=16,0
y_{\text{média}}=\frac{y(1)+y(2)}{2}=\frac{4,00+16,0}{2}=10,0é

Passo 3

Determinar o instante t_{m} em que y(t_{m})=10,0. Da equação
3,20+0,800\,t^{4}=10,0
segue
0,800\,t^{4}=6,80\quad\Longrightarrow\quad t^{4}=\frac{6,80}{0,800}=8,50
t_{m}=\sqrt[4]{8,50}\approx1,707\:\mathrm{s}

Passo 4

A velocidade instantânea é dada por v(t)=\tfrac{dy}{dt}. Derivando:
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3,20+0,800\,t^{4}\bigr)=0,800\cdot4\,t^{3}=3,20\,t^{3}.
Avalia-se em t=t_{m}:
v(t_{m})=3,20\bigl(\sqrt[4]{8,50}\bigr)^{3}=3,20\,(8,50)^{3/4}\approx15,9\:\mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade instantânea é aproximadamente 15,9\:\mathrm{m/s}.

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