2^{\text {a }} Questão (30 pontos):
Calcule a Transformada de Laplace Inversa das seguintes funções:
G(s)=\frac{4}{(s-1)^{3}}+\frac{2}{s^{2}+3 s-4}

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Laplace inversa de
G(s)=\frac{4}{(s-1)^{3}}+\frac{2}{s^{2}+3s-4}.
Portanto a tarefa é encontrar a função g(t) tal que \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s). As informações dadas são exatamente as duas parcelas racionais acima.

Passo 2

Vamos tratar a primeira parcela separadamente:
\frac{4}{(s-1)^{3}}.
Aqui é útil lembrar duas fórmulas padrão:
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\quad\text{e}\quad \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. Em particular, para n=2 temos
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}},
e aplicando a propriedade de deslocamento (com a=1):
\mathcal{L}\{t^{2}e^{t}\}=\frac{2}{(s-1)^{3}}.

Passo 3

Comparando com a nossa parcela, vemos que
\frac{4}{(s-1)^{3}}=2\cdot\frac{2}{(s-1)^{3}}=2\cdot\mathcal{L}\{t^{2}e^{t}\}.
Portanto a transformada inversa dessa parcela é
2t^{2}e^{t}.

Passo 4

Agora a segunda parcela:
\frac{2}{s^{2}+3s-4}.
Primeiro fatoramos o denominador. Procuramos raízes de s^{2}+3s-4. Observando, s=1 e s=-4 são raízes, então
s^{2}+3s-4=(s-1)(s+4).

Passo 5

Fazemos frações parciais:
\frac{2}{(s-1)(s+4)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+4) obtemos
2=A(s+4)+B(s-1).
Para achar A e B tomamos valores convenientes de s:
  • Para s=1: 2=A(5)+B(0)\Rightarrow A=\frac{2}{5}.
  • Para s=-4: 2=A(0)+B(-5)\Rightarrow B=-\frac{2}{5}.
Assim
\frac{2}{(s-1)(s+4)}=\frac{2/5}{s-1}-\frac{2/5}{s+4}.

Passo 6

Aplicamos a transformada inversa a cada termo. Lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},
temos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2/5}{s-1}\right\}=\frac{2}{5}e^{t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{2/5}{s+4}\right\}=-\frac{2}{5}e^{-4t}.
Portanto a transformada inversa da segunda parcela é
\frac{2}{5}e^{t}-\frac{2}{5}e^{-4t}.

Passo 7

Somando as inversas das duas parcelas (linearidade da transformada), obtemos a função g(t):
g(t)=2t^{2}e^{t}+\frac{2}{5}e^{t}-\frac{2}{5}e^{-4t}.
Se quiser, pode-se fatorar e^{t}:
g(t)=e^{t}\!\left(2t^{2}+\frac{2}{5}\right)-\frac{2}{5}e^{-4t}.

Resposta

g(t)=2t^{2}e^{t}+\frac{2}{5}e^{t}-\frac{2}{5}e^{-4t}

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