Questão (30 pontos):
Calcule a Transformada de Laplace Inversa das seguintes funções:
Calcule a Transformada de Laplace Inversa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a Transformada de Laplace inversa de
Portanto a tarefa é encontrar a função
tal que
. As informações dadas são exatamente as duas parcelas racionais acima.
Passo 2
Vamos tratar a primeira parcela separadamente:
Aqui é útil lembrar duas fórmulas padrão:
onde
. Em particular, para
temos
e aplicando a propriedade de deslocamento (com
):
Passo 3
Comparando com a nossa parcela, vemos que
Portanto a transformada inversa dessa parcela é
Passo 4
Agora a segunda parcela:
Primeiro fatoramos o denominador. Procuramos raízes de
. Observando,
e
são raízes, então
Passo 5
Fazemos frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para achar
e
tomamos valores convenientes de
:
- Para
: - Para
:
Assim
Passo 6
Aplicamos a transformada inversa a cada termo. Lembrando que
temos
Portanto a transformada inversa da segunda parcela é
Passo 7
Somando as inversas das duas parcelas (linearidade da transformada), obtemos a função
:
Se quiser, pode-se fatorar
: