1^{\text {a }} Questão (30 pontos): Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções: f(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t<\pi \\\\ 2, & \pi \leq t<2 \pi \\\\ 0, & t \geq 2 \pi\end{array}\right.,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a Transformada de Laplace da função f(t)\) dada por
\[f(t)=\begin{cases} 0, & t<\pi,\\[4pt] 2, & \pi \le t<2\pi,\\[4pt] 0, & t\ge 2\pi. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
f(t)\] vale \(0 antes de t=\pi.
f(t) vale 2 no intervalo [\pi,2\pi).
f(t) vale 0 para t\ge 2\pi.
A pergunta é: qual é \mathcal{L}\{f\}(s), a Transformada de Laplace dessa função?]
Passo 2
Vou lembrar a definição da Transformada de Laplace e explicar cada parte, para você entender bem o processo.
A Transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
onde s é, em geral, um número complexo. Na prática de provas, trabalhamos com s tal que a integral converge; para funções com suporte limitado (como a nossa), a integral converge para \Re(s)>0 (essa condição garante decaimento da exponencial quando necessário). Aqui:
t é a variável de tempo (integração).
s é a variável da transformada (parâmetro).
A ideia é multiplicar f(t) por e^{-st} e integrar de 0 a \infty.
Passo 3
Usando a definição e as informações da função: como f(t)=0 para t<\pi e para t\ge 2\pi, a integral de 0 a \infty reduz-se ao intervalo onde f é não nula, isto é [\pi,2\pi). Portanto