1^{\text {a }} Questão (30 pontos): Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t<\pi \\\\ 2, & \pi \leq t<2 \pi \\\\ 0, & t \geq 2 \pi\end{array}\right.,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a Transformada de Laplace da função f(t)\) dada por \[f(t)=\begin{cases} 0, & t<\pi,\\[4pt] 2, & \pi \le t<2\pi,\\[4pt] 0, & t\ge 2\pi. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
  1. f(t)\] vale \(0 antes de t=\pi.
  2. f(t) vale 2 no intervalo [\pi,2\pi).
  3. f(t) vale 0 para t\ge 2\pi.
    A pergunta é: qual é \mathcal{L}\{f\}(s), a Transformada de Laplace dessa função?]

Passo 2

Vou lembrar a definição da Transformada de Laplace e explicar cada parte, para você entender bem o processo.
A Transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt,
onde s é, em geral, um número complexo. Na prática de provas, trabalhamos com s tal que a integral converge; para funções com suporte limitado (como a nossa), a integral converge para \Re(s)>0 (essa condição garante decaimento da exponencial quando necessário). Aqui:
  • t é a variável de tempo (integração).
  • s é a variável da transformada (parâmetro).
    A ideia é multiplicar f(t) por e^{-st} e integrar de 0 a \infty.

Passo 3

Usando a definição e as informações da função: como f(t)=0 para t<\pi e para t\ge 2\pi, a integral de 0 a \infty reduz-se ao intervalo onde f é não nula, isto é [\pi,2\pi). Portanto
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt = \int_{\pi}^{2\pi} e^{-st}\cdot 2\,dt.
Note que extraímos o valor constante 2 porque f(t)=2 nessa faixa.

Passo 4

Calculo da integral passo a passo.
Primeiro, fatoramos o 2:
\mathcal{L}\{f\}(s)=2\int_{\pi}^{2\pi} e^{-st}\,dt.
Agora precisamos da primitiva de e^{-st} em t. Para s\neq 0,
\int e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s} e^{-st},
porque ao derivar -\frac{1}{s}e^{-st} em relação a t obtemos e^{-st}. Usando essa primitiva no integral definido,
2\int_{\pi}^{2\pi} e^{-st}\,dt =2\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{t=\pi}^{t=2\pi}.

Passo 5

Avaliação dos limites:
2\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{t=\pi}^{t=2\pi} =2\left(-\frac{1}{s}e^{-2\pi s} + \frac{1}{s}e^{-\pi s}\right).
Colocando em evidência \frac{2}{s} obtemos
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{2}{s}\left(e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}\right).
Uma forma alternativa, equivalente, é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{2e^{-\pi s}}{s}\bigl(1-e^{-\pi s}\bigr).
Ambas as formas são válidas. A integral converge para \Re(s)>0.

Passo 6

Uma observação didática (útil para provas): podemos escrever f usando a função degrau de Heaviside u(t-a):
f(t)=2\bigl(u(t-\pi)-u(t-2\pi)\bigr).
Como \mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s} (para \Re(s)>0), aplicando linearidade obtemos diretamente
\mathcal{L}\{f\}(s)=2\left(\frac{e^{-\pi s}}{s}-\frac{e^{-2\pi s}}{s}\right),
que é exatamente o resultado anterior. Esse método é prático quando a função é um pulso gerado por degraus deslocados.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{2}{s}\bigl(e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}\bigr),\quad \Re(s)>0

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