3^{\text {a }} Questão (50 pontos) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+5^n}.
O conteúdo que vamos usar é o teste da comparação (direta ou por limite) com uma série geométrica, pois sabemos que séries geométricas com razão menor que 1 convergem.

Passo 2

Note que, para n grande, o termo 5^n cresce muito mais rápido que n. Assim,
n + 5^n \ge 5^n \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{n+5^n} \le \frac{1}{5^n}.
Além disso, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^n}
é uma série geométrica com razão r=\frac{1}{5} e, como \lvert r\rvert<1, ela converge.

Passo 3

Como 0 \le \frac{1}{n+5^n} \le \frac{1}{5^n} e \sum 1/5^n é convergente, pelo critério da comparação a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+5^n}
converge também.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+5^n} é convergente.

Exercícios relacionados