3^{\text {a }} Questão (50 pontos) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n+2}{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n+2}{n}
é convergente ou divergente. Vamos usar o fato de que, para qualquer série \sum a_n (alternante ou não), é necessário que
\lim_{n\to\infty}a_n = 0
para que haja convergência. Se esse limite não for zero, a série diverge imediatamente pelo teste do termo geral.

Passo 2

O termo geral da nossa série é
a_n = (-1)^{n-1}\frac{n+2}{n} = (-1)^{n-1}\Bigl(1+\tfrac{2}{n}\Bigr).
Vamos calcular
\lim_{n\to\infty}a_n.
Como \lim_{n\to\infty}\tfrac{2}{n}=0, temos
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}(-1)^{n-1}\bigl(1+0\bigr) =\lim_{n\to\infty}(-1)^{n-1}
que não existe como um único valor (oscila entre 1 e -1). Em particular, não se aproxima de zero.
Pelo teste do termo geral, como \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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