3^{\text {a }} Questão (50 pontos) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (3 n)}{1+3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(3n)}{1+3^{n}}
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é teste de comparação para séries e o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Vamos primeiro analisar a série de termos absolutos. Para todo n, vale
\Bigl|\frac{\cos(3n)}{1+3^{n}}\Bigr| = \frac{|\cos(3n)|}{1+3^{n}}\le \frac{1}{1+3^{n}}.

Passo 3

Note que, para n\ge1, temos 1+3^{n}\ge3^{n}, logo
\frac{1}{1+3^{n}}\le \frac{1}{3^{n}}.
A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}
é uma série geométrica com razão r=\tfrac13, e como |r|<1 ela converge.

Passo 4

Pelo teste de comparação, como
0\le \Bigl|\frac{\cos(3n)}{1+3^{n}}\Bigr|\le \frac{1}{3^{n}}
e \sum 1/3^{n} converge, a série de termos absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\frac{\cos(3n)}{1+3^{n}}\Bigr|
converge. Assim, a série original converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série é convergente (converge absolutamente).

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