3{ }^{\text {a }} Questão

Analise as afirmativas abaixo sobre propriedades de operação de união e interseção de conjuntos:
I. \quad A \cup B=A \Leftrightarrow B \subset A
II. \quad A \subset B, A^{\prime} \subset B^{\prime} \Rightarrow B \cap B^{\prime} \subset A \cap A^{\prime}
III. A \subset B \Rightarrow B \cap(A \cup C)=(B \cap C) \cup A, \forall C
IV. \quad A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)
Assinale a opção correta.
(A) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras.
(C) Apenas as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
(D) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(E) Apenas a afirmativa I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede que se analise a veracidade das quatro afirmativas sobre operações com conjuntos e se assinale a opção correta entre as dadas. Vou listar claramente cada afirmativa (mantendo a notação do enunciado, onde A' e B' denotam os complementos de A e B, respectivamente, em relação a um mesmo universo U):
  • I. \;A\cup B = A \Leftrightarrow B \subset A.
  • II. \;A \subset B,\; A' \subset B' \Rightarrow B\cap B' \subset A\cap A'.
  • III. \;A \subset B \Rightarrow B\cap(A\cup C) = (B\cap C)\cup A,\\ \forall C.
  • IV. \;A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C).
O que se pede: determinar quais dessas afirmativas são verdadeiras e, assim, qual alternativa (A)–(E) corresponde.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: \;A\cup B = A \Leftrightarrow B \subset A.
Definições úteis (rápido refresco):
  • B \subset A significa: todo elemento de B pertence a A.
  • A\cup B é o conjunto de elementos que estão em A ou em B (ou em ambos).
Prova em duas direções:
  1. Direção \Rightarrow. Suponha \;A\cup B = A. Tome x\in B. Então x\in A\cup B. Como A\cup B = A, segue x\in A. Portanto todo x\in B está em A, ou seja B\subset A.
  2. Direção \Leftarrow. Suponha B\subset A. Então A\cup B contém todos os elementos de A e de B, mas os elementos de B já estão em A. Logo A\cup B = A. Formalmente, A \subset A\cup B sempre, e como B\subset A temos A\cup B \subset A, portanto igualdade.
Conclusão: I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: \;A \subset B,\; A' \subset B' \Rightarrow B\cap B' \subset A\cap A'.
Primeiro lembrete simples e importante: para qualquer conjunto X vale \;X\cap X'=\varnothing, pois X' é o complemento de X (não existe elemento que esteja simultaneamente em X e em seu complemento).
Observação imediata: B\cap B'=\varnothing e A\cap A'=\varnothing. Portanto sempre \;B\cap B' \subset A\cap A' porque \varnothing \subset \varnothing é verdadeira. Logo a conclusão da implicação é verdadeira independentemente das hipóteses — a inclusão vale porque ambos os lados são o conjunto vazio.
Se quiser ver outra forma de raciocinar usando as hipóteses: de A\subset B segue B' \subset A' (a operação de complemento inverte as inclusões). Mas o enunciado dá também A'\subset B'. Da combinação B' \subset A' e A' \subset B' obtemos A'=B', daí A=B. De qualquer modo, X\cap X'=\varnothing para X=A e para X=B leva à mesma conclusão de que a inclusão pedida é verdadeira.
Conclusão: II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa III: \;A \subset B \Rightarrow B\cap(A\cup C) = (B\cap C)\cup A,\\ \forall C.
Vamos provar a igualdade por leis básicas de conjuntos (distributividade e propriedade de interseção com subconjunto).
Usar a distributividade da interseção sobre a união:
B\cap (A\cup C) = (B\cap A)\cup (B\cap C).
Agora, como A\subset B, tem-se B\cap A = A (interseção de B com um subconjunto A retorna A). Substituindo:
B\cap (A\cup C) = A \cup (B\cap C).
A união é comutativa, então A\cup (B\cap C) = (B\cap C)\cup A, que é exatamente o lado direito da afirmativa.
Conclusão: III é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmativa IV: \;A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C).
Esta é uma das leis distributivas clássicas para conjuntos: a união distribui sobre a interseção. Prova por elemento (método padrão):
  • Se x\in A\cup (B\cap C), então x\in A ou (x\in B e x\in C).
    • Se x\in A então x\in A\cup B e x\in A\cup C, logo x\in (A\cup B)\cap (A\cup C).
    • Se x\in B\cap C então x\in B e x\in C, daí x\in A\cup B e x\in A\cup C, logo x\in (A\cup B)\cap (A\cup C).
      Assim A\cup (B\cap C)\subset (A\cup B)\cap (A\cup C).
  • Reversamente, se x\in (A\cup B)\cap (A\cup C), então x\in A\cup B e x\in A\cup C. Se x\in A então x\in A\cup (B\cap C) imediatamente. Se x\notin A, então para estar em A\cup B e em A\cup C é necessário ter x\in B e x\in C, isto é, x\in B\cap C; então x\in A\cup (B\cap C). Assim a inclusão inversa vale e temos igualdade.
Portanto IV é a lei distributiva e é verdadeira.

Passo 6

Resumo das verificações:
  • I verdadeira (prova direta por definição de união e subconjunto).
  • II verdadeira (porque X\cap X'=\varnothing para qualquer X, logo a inclusão vale; alternativa argumental via complementos também leva à verdade).
  • III verdadeira (distributividade seguida de B\cap A = A quando A\subset B).
  • IV verdadeira (lei distributiva clássica).
Conclusão final: todas as quatro afirmativas são verdadeiras.

Resposta

Todas as afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras.

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