Questão
Analise as afirmativas abaixo sobre propriedades de operação de união e interseção de conjuntos:
I.
II.
III.
IV.
Assinale a opção correta.
(A) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras.
(C) Apenas as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
(D) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(E) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
I.
II.
III.
IV.
(A) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras.
(C) Apenas as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
(D) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(E) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
Passo 1
O enunciado pede que se analise a veracidade das quatro afirmativas sobre operações com conjuntos e se assinale a opção correta entre as dadas. Vou listar claramente cada afirmativa (mantendo a notação do enunciado, onde
e
denotam os complementos de
e
, respectivamente, em relação a um mesmo universo
):
- I.
- II.
- III.
- IV.
O que se pede: determinar quais dessas afirmativas são verdadeiras e, assim, qual alternativa (A)–(E) corresponde.
Passo 2
Analisando a afirmativa I:
Definições úteis (rápido refresco):
-
significa: todo elemento de pertence a . -
é o conjunto de elementos que estão em ou em (ou em ambos).
Prova em duas direções:
-
Direção
. Suponha . Tome . Então . Como , segue . Portanto todo está em , ou seja . -
Direção
. Suponha . Então contém todos os elementos de e de , mas os elementos de já estão em . Logo . Formalmente, sempre, e como temos , portanto igualdade.
Conclusão: I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmativa II:
Primeiro lembrete simples e importante: para qualquer conjunto
vale
, pois
é o complemento de
(não existe elemento que esteja simultaneamente em
e em seu complemento).
Observação imediata:
e
. Portanto sempre
porque
é verdadeira. Logo a conclusão da implicação é verdadeira independentemente das hipóteses — a inclusão vale porque ambos os lados são o conjunto vazio.
Se quiser ver outra forma de raciocinar usando as hipóteses: de
segue
(a operação de complemento inverte as inclusões). Mas o enunciado dá também
. Da combinação
e
obtemos
, daí
. De qualquer modo,
para
e para
leva à mesma conclusão de que a inclusão pedida é verdadeira.
Conclusão: II é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmativa III:
Vamos provar a igualdade por leis básicas de conjuntos (distributividade e propriedade de interseção com subconjunto).
Usar a distributividade da interseção sobre a união:
Agora, como
, tem-se
(interseção de
com um subconjunto
retorna
). Substituindo:
A união é comutativa, então
, que é exatamente o lado direito da afirmativa.
Conclusão: III é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmativa IV:
Esta é uma das leis distributivas clássicas para conjuntos: a união distribui sobre a interseção. Prova por elemento (método padrão):
-
Se
, então ou e . - Se
então e , logo . - Se
então e , daí e , logo .
Assim.
- Se
-
Reversamente, se
, então e . Se então imediatamente. Se , então para estar em e em é necessário ter e , isto é, ; então . Assim a inclusão inversa vale e temos igualdade.
Portanto IV é a lei distributiva e é verdadeira.
Passo 6
Resumo das verificações:
- I verdadeira (prova direta por definição de união e subconjunto).
- II verdadeira (porque
para qualquer , logo a inclusão vale; alternativa argumental via complementos também leva à verdade). - III verdadeira (distributividade seguida de
quando ). - IV verdadeira (lei distributiva clássica).
Conclusão final: todas as quatro afirmativas são verdadeiras.
Resposta
Todas as afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras.