Questão
Seja a função
.
O valor da derivada de
calculada em
é
(A)
.
(B) 0 .
(C)
.
(D)
.
Seja a função
O valor da derivada de
(A)
(B) 0 .
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o valor da derivada de
calculada em
.
Informações relevantes dadas:
- A parte interna da composição é o polinômio
. - A função
é a composição de três funções: , e . - O ponto onde se pede a derivada é
.
Passo 2
Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Regra da cadeia (ideia): se uma função
é composta por , então a derivada é
Isto significa: derivar a função externa avaliada na interna e multiplicar pela derivada da interna.
- Derivada do cosseno: para
,
Aqui
é a função seno e
é o argumento dela.
- Derivada do logaritmo natural: para
,
desde que
. Ou seja, a derivada do
é a derivada do argumento dividida pelo próprio argumento.
Aplicando estas duas últimas na regra da cadeia, para
obtemos a expressão geral da derivada:
Nesta fórmula:
-
é , -
é a derivada desse polinômio (a ser calculada).
Passo 3
Calcular
e
:
Derivando termo a termo (regra básica:
):
Agora avaliamos
e
em
.
Passo 4
Calcular
:
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Portanto
. Note que
, então
está bem definido.
Calcular
:
Passo a passo:
Somando:
Assim
.
Passo 5
Agora usar a fórmula da derivada encontrada no Passo 2 e avaliar em
:
Substituindo os valores que calculamos (
,
):
Como
e
, resulta
Portanto a derivada de
em
é
.
Resposta
(B) 0