1{ }^{\text {a }} Questão
Seja a função f(x)=\cos \left(\ln \left(x^{3}+8 x^{2}+21 x+19\right)\right).
O valor da derivada de \mathrm{f}(\mathrm{x}) calculada em \mathrm{x}=-2 é
(A) \cos (1).
(B) 0 .
(C) \pi.
(D) \cos (2).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\cos\!\big(\ln\big(x^{3}+8x^{2}+21x+19\big)\big)
e pede o valor da derivada de f calculada em x=-2.
Informações relevantes dadas:
  • A parte interna da composição é o polinômio \;P(x)=x^{3}+8x^{2}+21x+19\;.
  • A função f é a composição de três funções: x \mapsto P(x), t \mapsto \ln t e u \mapsto \cos u.
  • O ponto onde se pede a derivada é x=-2.

Passo 2

Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar (explicadas passo a passo):
  1. Regra da cadeia (ideia): se uma função h é composta por h(x)=g(u(x)), então a derivada é
h'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Isto significa: derivar a função externa avaliada na interna e multiplicar pela derivada da interna.
  1. Derivada do cosseno: para g(u)=\cos u,
g'(u)=-\sin u.
Aqui \sin é a função seno e u é o argumento dela.
  1. Derivada do logaritmo natural: para u(x)=\ln\big(P(x)\big),
\frac{d}{dx}\ln\big(P(x)\big)=\frac{P'(x)}{P(x)},
desde que P(x)>0. Ou seja, a derivada do \ln é a derivada do argumento dividida pelo próprio argumento.
Aplicando estas duas últimas na regra da cadeia, para f(x)=\cos(\ln(P(x))) obtemos a expressão geral da derivada:
f'(x)=-\sin\!\big(\ln(P(x))\big)\cdot\frac{P'(x)}{P(x)}.
Nesta fórmula:
  • P(x) é x^{3}+8x^{2}+21x+19,
  • P'(x) é a derivada desse polinômio (a ser calculada).

Passo 3

Calcular P(x) e P'(x):
P(x)=x^{3}+8x^{2}+21x+19.
Derivando termo a termo (regra básica: \frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}):
P'(x)=3x^{2}+16x+21.
Agora avaliamos P e P' em x=-2.

Passo 4

Calcular P(-2):
P(-2)=(-2)^{3}+8(-2)^{2}+21(-2)+19.
Fazendo as contas passo a passo:
(-2)^{3}=-8,\quad 8(-2)^{2}=8\cdot4=32,\quad 21(-2)=-42.
Somando:
P(-2)=-8+32-42+19 = (-8+32)=24,\; 24-42=-18,\; -18+19=1.
Portanto \;P(-2)=1. Note que P(-2)>0, então \ln(P(-2)) está bem definido.
Calcular P'(-2):
P'(-2)=3(-2)^{2}+16(-2)+21.
Passo a passo:
3(-2)^{2}=3\cdot4=12,\quad 16(-2)=-32.
Somando:
P'(-2)=12-32+21 = (12-32)=-20,\; -20+21=1.
Assim \;P'(-2)=1.

Passo 5

Agora usar a fórmula da derivada encontrada no Passo 2 e avaliar em x=-2:
f'(-2)=-\sin\!\big(\ln(P(-2))\big)\cdot\frac{P'(-2)}{P(-2)}.
Substituindo os valores que calculamos ( P(-2)=1, P'(-2)=1):
f'(-2)=-\sin\!\big(\ln(1)\big)\cdot\frac{1}{1}.
Como \ln(1)=0 e \sin(0)=0, resulta
f'(-2)=-\sin(0)\cdot 1 = -0 = 0.
Portanto a derivada de f em x=-2 é 0.

Resposta

(B) 0

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