A soma dos números maiores que 100 e menores que 300 que são múltiplos de 4 ou de 7 , mas não são simultaneamente múltiplos de ambos, é
(A) 8426
(B) 10086
(C) 11354
(D) 12642
(E) 13382
(A) 8426
(B) 10086
(C) 11354
(D) 12642
(E) 13382
Passo 1
O enunciado pede a soma de todos os números que satisfazem simultaneamente as três condições:
- são maiores que
e menores que (ou seja, pertencem ao intervalo aberto ); - são múltiplos de
ou de ; - porém não são simultaneamente múltiplos de
e (ou seja, excluir os múltiplos comuns).
Informações relevantes dadas:
- Intervalo considerado:
(equivalente a ). - Queremos números em
que estão em ou mas não em , onde e .
Passo 2
Estratégia (fórmula que vamos usar) — explicação didática:
- Seja
a soma dos múltiplos de em . - Seja
a soma dos múltiplos de em . - Seja
a soma dos múltiplos de em (porque ) — estes são os múltiplos de ambos.
Queremos a soma dos elementos que estão em
ou
mas não em ambos; isto é a soma do XOR:
. Usando soma por conjuntos:
Como os elementos comuns estão contados uma vez em
mas devem ser excluídos totalmente (não queremos nenhum múltiplo de ambos), subtraímos ainda
. Assim:
Vou então calcular
,
e
e aplicar essa fórmula.
Passo 3
Cálculo de
(soma dos múltiplos de
em
).
- Primeiro múltiplo de
maior que : calcular , então o primeiro termo é . - Último múltiplo de
menor que : calcular , então o último termo é . - Razão (passo) da progressão aritmética:
. - Número de termos:
- Soma de uma progressão aritmética:
. Aplicando:
Passo 4
Cálculo de
(soma dos múltiplos de
em
).
- Primeiro múltiplo de
maior que : , então . - Último múltiplo de
menor que : , então . - Razão:
. - Número de termos:
- Soma:
Passo 5
Cálculo de
(soma dos múltiplos de
em
), que são os múltiplos comuns a
e
.
- Primeiro múltiplo de
maior que : , então . - Último múltiplo de
menor que : , então . - Razão:
. - Número de termos:
- Soma:
Passo 6
Combinar os resultados usando a fórmula do passo 2:
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Resposta
(D) 12642