A soma dos números maiores que 100 e menores que 300 que são múltiplos de 4 ou de 7 , mas não são simultaneamente múltiplos de ambos, é
(A) 8426
(B) 10086
(C) 11354
(D) 12642
(E) 13382

Passo 1

O enunciado pede a soma de todos os números que satisfazem simultaneamente as três condições:
  • são maiores que ...100... e menores que ...300... (ou seja, pertencem ao intervalo aberto ...(100,300));
  • são múltiplos de ...4... ou de ...7...;
  • porém não são simultaneamente múltiplos de ...4 e 7 (ou seja, excluir os múltiplos comuns).
Informações relevantes dadas:
  • Intervalo considerado: ...101,102,\dots,299... (equivalente a ...(100,300)).
  • Queremos números em ...(100,300) que estão em A ou B mas não em A\cap B, onde A=\{\text{múltiplos de }4\}ú e B=\{\text{múltiplos de }7\}ú.

Passo 2

Estratégia (fórmula que vamos usar) — explicação didática:
  • Seja S_4 a soma dos múltiplos de ...4... em ...(100,300).
  • Seja S_7 a soma dos múltiplos de ...7... em ...(100,300).
  • Seja S_{28} a soma dos múltiplos de ...28... em ...(100,300) (porque 28=\mathrm{lcm}(4,7)) — estes são os múltiplos de ambos.
Queremos a soma dos elementos que estão em A ou B mas não em ambos; isto é a soma do XOR: S_{\text{xor}}=\sum_{x\in A\triangle B} x. Usando soma por conjuntos:
S_{A\cup B}=S_4+S_7-S_{28}.
Como os elementos comuns estão contados uma vez em S_{A\cup B} mas devem ser excluídos totalmente (não queremos nenhum múltiplo de ambos), subtraímos ainda S_{28}. Assim:
S_{\text{xor}}=S_4+S_7-2S_{28}.
Vou então calcular S_4, S_7 e S_{28} e aplicar essa fórmula.

Passo 3

Cálculo de S_4 (soma dos múltiplos de ...4... em ...(100,300)).
  • Primeiro múltiplo de ...4... maior que ...100...: calcular \lceil 101/4\rceil=26, então o primeiro termo é a_1=26\cdot4=104.
  • Último múltiplo de ...4... menor que ...300...: calcular \lfloor 299/4\rfloor=74, então o último termo é a_n=74\cdot4=296.
  • Razão (passo) da progressão aritmética: d=4.
  • Número de termos:
n_4=\frac{296-104}{4}+1=\frac{192}{4}+1=48+1=49.
  • Soma de uma progressão aritmética: \displaystyle S=n\frac{a_1+a_n}{2}. Aplicando:
S_4=49\cdot\frac{104+296}{2}=49\cdot\frac{400}{2}=49\cdot200=9800.

Passo 4

Cálculo de S_7 (soma dos múltiplos de ...7... em ...(100,300)).
  • Primeiro múltiplo de ...7... maior que ...100...: \lceil 101/7\rceil=15, então b_1=15\cdot7=105.
  • Último múltiplo de ...7... menor que ...300...: \lfloor 299/7\rfloor=42, então b_m=42\cdot7=294.
  • Razão: d=7.
  • Número de termos:
n_7=\frac{294-105}{7}+1=\frac{189}{7}+1=27+1=28.
  • Soma:
S_7=28\cdot\frac{105+294}{2}=28\cdot\frac{399}{2}=28\cdot199{,}5=5586.

Passo 5

Cálculo de S_{28} (soma dos múltiplos de ...28... em ...(100,300)), que são os múltiplos comuns a 4 e 7.
  • Primeiro múltiplo de ...28... maior que ...100...: \lceil 101/28\rceil=4, então c_1=4\cdot28=112.
  • Último múltiplo de ...28... menor que ...300...: \lfloor 299/28\rfloor=10, então c_p=10\cdot28=280.
  • Razão: d=28.
  • Número de termos:
n_{28}=\frac{280-112}{28}+1=\frac{168}{28}+1=6+1=7.
  • Soma:
S_{28}=7\cdot\frac{112+280}{2}=7\cdot\frac{392}{2}=7\cdot196=1372.

Passo 6

Combinar os resultados usando a fórmula do passo 2:
S_{\text{xor}}=S_4+S_7-2S_{28}.
Substituindo os valores:
S_{\text{xor}}=9800+5586-2\cdot1372.
Calcule passo a passo:
9800+5586=15386,
2\cdot1372=2744,
15386-2744=12642.

Resposta

(D) 12642

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