\mathbf{4}^{\mathbf{a}} Questão

Seja E=\{0,1,2, \ldots, 99\} e considere a função f: E \rightarrow E, tal que o valor de f(x) é dado pela soma dos algarismos de x . O número de subconjuntos do conjunto A=\{x \mid f(x)=7\} é
(A) 16
(B) 32
(C) 64
(D) 128
(E) 256

Passo 1

O enunciado dá:
  • E=\{0,1,2,\ldots,99\}.
  • A função f:E\to E é definida de modo que f(x) é a soma dos algarismos de x.
  • O conjunto A é A=\{x\in E \mid f(x)=7\}.
    O que se pede: determinar o número de subconjuntos do conjunto A (ou seja, calcular quantos subconjuntos distintos A tem).

Passo 2

Representação decimal: qualquer x\in E pode ser escrito com dois algarismos (com um zero à esquerda se necessário): o algarismo das dezenas t e o das unidades u, com
t\in\{0,1,\ldots,9\},\qquad u\in\{0,1,\ldots,9\},
e x corresponde ao par (t,u). A soma dos algarismos é f(x)=t+u. Então a condição f(x)=7 vira a equação
t+u=7,
com as restrições 0\le t\le 9 e 0\le u\le 9.

Passo 3

Contagem das soluções inteiras não-negativas de \,t+u=7 dentro das restrições:
  • Sem restrição superior, os pares não-negativos que somam 7 são (0,7),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(7,0).
  • Todos esses pares satisfazem t\le9 e u\le9, pois ambos os componentes estão entre 0 e 7.
    Logo existem exatamente 8 soluções para (t,u).

Passo 4

Portanto |A|=8. Para ficar concreto, os elementos de A (escritos como números) são
A=\{7,16,25,34,43,52,61,70\}.

Passo 5

Fórmula para número de subconjuntos: se um conjunto tem n elementos então ele possui 2^{n} subconjuntos (cada elemento pode ou não pertencer ao subconjunto, dando 2 escolhas por elemento, e multiplicando dá 2^n). Aqui n=|A|=8, logo o número de subconjuntos de A é
2^{8}.

Passo 6

Calcule 2^{8}:
2^{8}=256.

Resposta

256

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