Questão
Seja
e considere a função
, tal que o valor de
é dado pela soma dos algarismos de x . O número de subconjuntos do conjunto
é
(A) 16
(B) 32
(C) 64
(D) 128
(E) 256
(A) 16
(B) 32
(C) 64
(D) 128
(E) 256
Passo 1
O enunciado dá:
-
. - A função
é definida de modo que é a soma dos algarismos de . - O conjunto
é .
O que se pede: determinar o número de subconjuntos do conjunto(ou seja, calcular quantos subconjuntos distintos tem).
Passo 2
Representação decimal: qualquer
pode ser escrito com dois algarismos (com um zero à esquerda se necessário): o algarismo das dezenas
e o das unidades
, com
e
corresponde ao par
. A soma dos algarismos é
. Então a condição
vira a equação
com as restrições
e
.
Passo 3
Contagem das soluções inteiras não-negativas de
dentro das restrições:
- Sem restrição superior, os pares não-negativos que somam 7 são
. - Todos esses pares satisfazem
e , pois ambos os componentes estão entre 0 e 7.
Logo existem exatamentesoluções para .
Passo 4
Portanto
. Para ficar concreto, os elementos de
(escritos como números) são
Passo 5
Fórmula para número de subconjuntos: se um conjunto tem
elementos então ele possui
subconjuntos (cada elemento pode ou não pertencer ao subconjunto, dando
escolhas por elemento, e multiplicando dá
). Aqui
, logo o número de subconjuntos de
é
Passo 6
Calcule
:
Resposta
256