4 { }^{\text {a }} Questão: Um balāo contendo um certo gás é preenchido com um volume inicial de 1 \mathrm{~m}^{3}, em uma regiāo onde a pressāo atmosférica é 1 atm e a temperatura ambiente é 30^{\circ} \mathrm{C}. Ao ser lançado na atmosfera e chegar a uma certa altura, este balāo se expande. Supondo que a pressão ambiente nesta altura seja 0,2 atm e a temperatura seja -40^{\circ} \mathrm{C}, obtenha o volume atingido pelo balāo. (Dica: considere, sempre, que vale a equaçāo de estado para o gás ideal Detalhe: nāo é necessário conhecer nem o número de moles, n, pois nāo há perda nem ganho de gás no volume, e nem a constante universal dos gases, R.)
\section*{Equações úteis}
\Delta L=\alpha L \Delta T
T\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)=T(K)-273,15
\Delta A=2 \alpha A \Delta T
p V=n R T
\Delta V=3 \alpha V \Delta T

Passo 1

O enunciado pede que você determine o volume final do balão quando ele sobe a uma altura onde a pressão e a temperatura são diferentes das iniciais. Dados fornecidos (peguei esses valores do enunciado):
  • Volume inicial: V_1 = 1\\ \mathrm{m}^3.
  • Pressão inicial: p_1 = 1\\ \mathrm{atm}.
  • Temperatura inicial: T_1 = 30^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão na nova altura: p_2 = 0,2\\ \mathrm{atm}.
  • Temperatura na nova altura: T_2 = -40^\circ\mathrm{C}.
Condição importante dada: não há ganho nem perda de gás no balão (ou seja, a quantidade de gás n é constante). A dica do enunciado diz para usar a equação de estado do gás ideal. A pergunta específica é: qual o volume atingido pelo balão ( V_2) nessas novas condições?

Passo 2

Primeiro passo técnico: converter temperaturas de Celsius para Kelvin. Por que? Porque a equação dos gases ideais usa temperatura absoluta; Kelvin é a escala adequada. A relação é:
T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273,15
Agora aplico para cada temperatura:
  • Para T_1 = 30^\circ\mathrm{C}:
T_1 = 30 + 273,15 = 303,15\\ \mathrm{K}.
  • Para T_2 = -40^\circ\mathrm{C}:
T_2 = -40 + 273,15 = 233,15\\ \mathrm{K}.
Observação: é imprescindível usar Kelvin aqui; se você usasse graus Celsius diretamente a relação entre temperaturas não faria sentido físico (divisão por temperaturas exige escala absoluta).

Passo 3

Agora uso a equação de estado do gás ideal e explano o porquê de n e R não serem necessários numericamente. A equação é:
pV = nRT,
onde
  • p é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é o número de mols do gás,
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura em Kelvin.
Como o balão não troca gás com o ambiente, n é constante. R é constante universal. Assim, para as condições 1 e 2 temos:
p_1 V_1 = n R T_1
p_2 V_2 = n R T_2.
Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar nR, obtemos:
\frac{p_2 V_2}{p_1 V_1} = \frac{T_2}{T_1}.
Rearranjando para V_2:
V_2 = V_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} \cdot \frac{p_1}{p_2}.
Essa fórmula é a que vamos usar: ela mostra por que nem n nem R são necessários — eles se cancelam quando comparamos dois estados do mesmo gás.

Passo 4

Substituo os valores numéricos na fórmula:
V_2 = 1\\ \mathrm{m}^3 \cdot \frac{233,15\\ \mathrm{K}}{303,15\\ \mathrm{K}} \cdot \frac{1\\ \mathrm{atm}}{0,2\\ \mathrm{atm}}.
Calcule passo a passo:
  • Razão de temperaturas:
\frac{T_2}{T_1} = \frac{233,15}{303,15} \approx 0,76909.
  • Razão das pressões:
\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{0,2} = 5.
  • Multiplicando tudo:
V_2 \approx 1 \cdot 0,76909 \cdot 5 = 3,84545\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Interpretação e arredondamento: com os dados fornecidos (temperaturas com duas casas relevantes, pressão dada com 1 casa decimal), é razoável apresentar o resultado com três algarismos significativos. Arredondando:
V_2 \approx 3,85\\ \mathrm{m}^3.
Fica a dica amiga: o balão cresceu porque a pressão ambiente caiu muito (fator 5), embora a temperatura também tenha caído (reduzindo um pouco o volume). O efeito da queda de pressão domina, fazendo o volume final ser maior que o inicial.

Resposta

V_2 \approx 3,85\\ \mathrm{m}^3

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