1{ }^{\text {a }} Questão) Deduza as expressões:
d X_{A}=\frac{d W_{A}}{M_{A} M_{B}\left(\frac{W_{A}}{M_{A}}+\frac{W_{B}}{M_{B}}\right)^{2}}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido e claro):
  • Foi dada a definição da fração molar de A em função das massas: X_A=\frac{n_A}{n_A+n_B}=\frac{\dfrac{W_A}{M_A}}{\dfrac{W_A}{M_A}+\dfrac{W_B}{M_B}}.
Aqui:
  • W_A e W_B são as frações (ou quantidades) de massa das espécies A e B;
  • M_A e M_B são as massas molares de A e B;
  • n_A=\dfrac{W_A}{M_A} e n_B=\dfrac{W_B}{M_B} são os números de mols correspondentes.
  • O objetivo é deduzir a expressão diferencial dX_A=\frac{dW_A}{M_A M_B\left(\dfrac{W_A}{M_A}+\dfrac{W_B}{M_B}\right)^{2}}.
Observação importante (assunção usada na dedução): as massas W_A e W_B são frações de massa do sistema e, portanto, somam 1. Logo \,W_A+W_B=1, o que implica \,dW_B=-dW_A. Essa hipótese será usada explicitamente mais adiante.

Passo 2

Estratégia matemática que vamos usar (fórmula necessária e significado dos elementos):
  • Vamos tratar X_A como um quociente X_A=\dfrac{u}{v} com u=\frac{W_A}{M_A},\qquad v=\frac{W_A}{M_A}+\frac{W_B}{M_B}.
  • Regra do diferencial (regra do quociente): para funções diferenciáveis u e v,
d\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{du\cdot v-u\cdot dv}{v^{2}}.
  • Explicando em palavras: pequenos incrementos de X_A vêm da combinação dos incrementos de u e v; o denominador ao quadrado aparece porque estamos diferenciando um quociente (é a forma clássica do quociente em diferenciação).

Passo 3

Calcular du e dv em termos de dW_A e dW_B:
  • Como u=\dfrac{W_A}{M_A} e M_A é constante,
du=\frac{dW_A}{M_A}.
  • Como v=\dfrac{W_A}{M_A}+\dfrac{W_B}{M_B},
dv=\frac{dW_A}{M_A}+\frac{dW_B}{M_B}.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente e substituir du e dv:
dX_A=\frac{\left(\dfrac{dW_A}{M_A}\right)\left(\dfrac{W_A}{M_A}+\dfrac{W_B}{M_B}\right)-\left(\dfrac{W_A}{M_A}\right)\left(\dfrac{dW_A}{M_A}+\dfrac{dW_B}{M_B}\right)}{\left(\dfrac{W_A}{M_A}+\dfrac{W_B}{M_B}\right)^{2}}.
Agora multiplicar e reorganizar o numerador passo a passo:
  • Multiplicando os termos do numerador:
\text{num}=\frac{dW_A}{M_A}\cdot\frac{W_A}{M_A}+\frac{dW_A}{M_A}\cdot\frac{W_B}{M_B}-\frac{W_A}{M_A}\cdot\frac{dW_A}{M_A}-\frac{W_A}{M_A}\cdot\frac{dW_B}{M_B}.
  • Note que os termos \dfrac{dW_A}{M_A}\cdot\dfrac{W_A}{M_A} e -\dfrac{W_A}{M_A}\cdot\dfrac{dW_A}{M_A} se cancelam. Restam:
\text{num}=\frac{W_B\,dW_A}{M_A M_B}-\frac{W_A\,dW_B}{M_A M_B}=\frac{W_B\,dW_A-W_A\,dW_B}{M_A M_B}.
  • Portanto
dX_A=\frac{W_B\,dW_A-W_A\,dW_B}{M_A M_B\left(\dfrac{W_A}{M_A}+\dfrac{W_B}{M_B}\right)^{2}}.

Passo 5

Usar a hipótese de frações de massa ( W_A+W_B=1) para eliminar dW_B:
  • Diferenciando W_A+W_B=1 obtém-se \,dW_A+dW_B=0, logo \,dW_B=-dW_A.
  • Substituindo em cima:
W_B\,dW_A-W_A\,dW_B=W_B\,dW_A-W_A(-dW_A)=(W_B+W_A)\,dW_A.
  • Como W_A+W_B=1, isso simplifica para (W_A+W_B)\,dW_A=1\cdot dW_A=dW_A.

Passo 6

Concluir a expressão final substituindo a simplificação no resultado do Passo 4:
dX_A=\frac{dW_A}{M_A M_B\left(\dfrac{W_A}{M_A}+\dfrac{W_B}{M_B}\right)^{2}}.
Essa é justamente a expressão pedida.

Resposta

dX_A=\frac{dW_A}{M_A M_B\left(\dfrac{W_A}{M_A}+\dfrac{W_B}{M_B}\right)^{2}}

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