Questão) Deduza as expressões:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido e claro):
- Foi dada a definição da fração molar de A em função das massas:
Aqui:
-
e são as frações (ou quantidades) de massa das espécies A e B; -
e são as massas molares de A e B; -
e são os números de mols correspondentes. - O objetivo é deduzir a expressão diferencial
Observação importante (assunção usada na dedução): as massas
e
são frações de massa do sistema e, portanto, somam
. Logo
, o que implica
. Essa hipótese será usada explicitamente mais adiante.
Passo 2
Estratégia matemática que vamos usar (fórmula necessária e significado dos elementos):
- Vamos tratar
como um quociente com - Regra do diferencial (regra do quociente): para funções diferenciáveis
e ,
- Explicando em palavras: pequenos incrementos de
vêm da combinação dos incrementos de e ; o denominador ao quadrado aparece porque estamos diferenciando um quociente (é a forma clássica do quociente em diferenciação).
Passo 3
Calcular
e
em termos de
e
:
- Como
e é constante,
- Como
,
Passo 4
Aplicar a regra do quociente e substituir
e
:
Agora multiplicar e reorganizar o numerador passo a passo:
- Multiplicando os termos do numerador:
- Note que os termos
e se cancelam. Restam:
- Portanto
Passo 5
Usar a hipótese de frações de massa (
) para eliminar
:
- Diferenciando
obtém-se , logo . - Substituindo em cima:
- Como
, isso simplifica para .
Passo 6
Concluir a expressão final substituindo a simplificação no resultado do Passo 4:
Essa é justamente a expressão pedida.