2^{\text {a }} Questão: Um título de renda fixa deverá ser resgatado por $10.000,00 no seu vencimento, que ocorrerá dentro de três meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 40 \% ao ano, determinar o seu valor presente.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o valor presente (quanto pagar hoje) de um título que será resgatado por R\$\,10.000{,}00 no vencimento, que ocorrerá em três meses. As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são:
  • Valor de resgate (valor futuro): \;R\$\,10.000{,}00.
  • Prazo até o vencimento: \;3 meses.
  • Taxa de rendimento: \;40\% ao ano.
O que é pedido: calcular o valor presente desse título hoje, usando as informações acima.

Passo 2

Escolha do método: o enunciado não diz explicitamente se a taxa é composta ou simples. Em problemas elementares de avaliação de um título para poucos meses, a hipótese mais básica (e frequentemente esperada) é a de juros simples proporcional ao tempo, a menos que se diga “capitalização composta” ou se use um período de capitalização específico. Vou, portanto, usar juros simples (método mais básico e direto), porque:
  • é o método mais elementar que se aplica quando não é dito o contrário;
  • permite cálculo exato sem calculadora (útil na prova);
  • se fosse juros compostos, a diferença seria pequena para 3 meses, mas o enunciado não informou capitalização, então não vamos inventar.

Passo 3

Fórmula e explicação da teoria (juros simples)
  • Em juros simples, o valor futuro \;F relacionado ao valor presente \;P é dado por
F = P\,(1 + r\,t)
onde:
  • \;F é o valor futuro (resgate) — no nosso caso \;R\$\,10.000{,}00,
  • \;P é o valor presente que queremos encontrar,
  • \;r é a taxa de juros por unidade de tempo (em decimal) — aqui a taxa anual \;40\% vira \;r=0{,}40,
  • \;t é o tempo na mesma unidade da taxa (anos, se \;r é anual).
  • Para encontrar \;P isolamos na fórmula:
P = \frac{F}{1 + r\,t}.

Passo 4

Converter os dados para a fórmula
  • Valor futuro: \;F = R\$\,10.000{,}00.
  • Taxa anual em decimal: \;r = 40\% = 0{,}40.
  • Tempo em anos (já que a taxa é anual): \;t = \dfrac{3}{12} = 0{,}25 ano.
Substituindo em \;P = \dfrac{F}{1 + r\,t}:
P = \frac{10.000{,}00}{1 + 0{,}40 \times 0{,}25}.

Passo 5

Calcular o denominador passo a passo
  • Primeiro calcule r\,t:
r\,t = 0{,}40 \times 0{,}25 = 0{,}10.
  • Então 1 + r\,t = 1 + 0{,}10 = 1{,}10.
A expressão fica:
P = \frac{10.000{,}00}{1{,}10}.

Passo 6

Fazer a divisão de forma exata (sem calculadora) e arredondar para centavos
  • Para facilitar a divisão, multiplica-se numerador e denominador por 10:
P = \frac{10.000{,}00}{1{,}10} = \frac{100.000{,}0}{11}.
  • Dividindo 100.000{,}0 por 11 obtém-se a dízima periódica 9.090{,}9090\ldots.
  • Arredondando para centavos (duas casas decimais) temos R\$\,9.090{,}91.

Passo 7

Interpretação e incentivo
  • Resultado prático: pagar hoje cerca de R\$\,9.090{,}91 equivale a receber R\$\,10.000{,}00 daqui a 3 meses quando a taxa é 40\% ao ano em regime de juros simples.
  • Dica rápida para a prova: se a taxa é anual e o tempo é em meses, sempre transforme o tempo em anos ( t= meses/12). Se o enunciado disser “juros compostos” ou der períodos de capitalização, aí usamos a fórmula composta P=F/(1+i)^{n}.

Resposta

R\$\,9.090{,}91

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