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QUESTÃO. Um canal retangular de
de largura, transporta em regime permanente e uniforme uma vazão de
, com declividade de fundo
e tendo
. O canal passa por uma transição na qual o fundo se eleva 30 cm . Qual deve ser a nova largura requerida para que o nível d’água permaneça constante ? (Despreze as perdas na transição). Verifique, ainda, se houve mudança no regime de escoamento.
(Fluvial), yc2=0,2702(Fluvial) - Não houve mudança
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
- Dados:
, largura inicial , declividade de fundo , rugosidade de Manning . O fundo do canal sobe numa transição (sem perdas). - Perguntas:
- Qual deve ser a nova largura
(do trecho a jusante da elevação) para que o nível d’água (elevação da superfície livre, considerada em relação a um datum fixo) permaneça constante atravessando a transição? - Verificar se houve mudança no regime de escoamento (isto é, se passou de subcrítico para supercrítico ou vice‑versa).
Observação: a água está em escoamento permanente e uniforme em cada trecho longe da transição; vamos usar a fórmula de Manning para escoamento uniforme em canal retangular. A resolução começa agora.
- Qual deve ser a nova largura
Passo 2
Conceito e estratégia (aula rápida e o plano):
- A profundidade normal
(ou simplesmente em escoamento uniforme) num canal retangular satisfaz a equação de Manning: onde para retângulo de largura e profundidade : -
é a vazão ( ), -
é coeficiente de Manning, -
é declividade do fundo (adimensional), -
é a área molhada ( ), -
é o perímetro molhado ( ), -
é o raio hidráulico ( ).
-
- Plano:
- Calcular a profundidade normal antes da elevação,
, resolvendo Manning com . - Como queremos que a superfície livre mantenha a mesma elevação absoluta e o fundo a jusante subiu
, então a profundidade normal a jusante deve ser (porque a cota do fundo subiu 0,30; para manter a mesma cota da superfície livre, a profundidade diminui 0,30). - Encontrar
tal que, para profundidade , a equação de Manning com seja satisfeita. - Verificar os regimes comparando cada profundidade normal
com a profundidade crítica , onde para canal retangular com . Se o escoamento é subcrítico (fluvial), se é supercrítico (torrencial).
- Calcular a profundidade normal antes da elevação,
Passo 3
Cálculo de
(profundidade normal no trecho inicial,
).
- Escrevendo Manning para este canal:
- Vamos usar valores numéricos parciais para simplificar depois:
- Substituindo
e obtemos uma equação não linear em . Resolvemos por tentativas (método prático em prova: tentativa e ajuste). - Teste
:
- Teste
- Teste
:
- Ajustando entre
e , testamos :
- Conclusão numérica (suficiente para prova):
. Guardaremos esta profundidade com três casas significativas.
Passo 4
Cálculo da profundidade crítica a montante e classificação do regime (explicação da fórmula):
- Fórmula da profundidade crítica em retângulo:
onde . - Para
: - Comparação:
. Logo o escoamento no trecho a montante é subcrítico (fluvial). Bom: já sabemos o regime inicial.
Passo 5
Profundidade necessária no trecho a jusante para manter a mesma cota da superfície livre:
- Se o fundo sobe
e queremos que a cota da superfície livre permaneça a mesma (mesmo datum), a profundidade a jusante deve diminuir exatamente : - Esse
é a profundidade normal que queremos que o trecho a jusante apresente (pois o problema especifica regime permanente e uniforme em cada trecho).
Passo 6
Determinar a nova largura
tal que, com profundidade
, a equação de Manning seja satisfeita com
.
- Reescrevendo Manning para incógnita
(com conhecida): Não há solução algébrica simples; resolvemos por tentativa/iteração (método prático na prova). - Vamos usar
e o fator . - Testes:
-
:
-
-
:
- Ajuste fino entre
e . Teste :
- Conclusão numérica:
(arredondando para duas casas decimais dá ). Este é o valor da nova largura que permite, com , satisfazer a equação de Manning para .
Passo 7
Verificação do regime a jusante e conclusão sobre mudança de regime:
- Calcule a profundidade crítica a jusante para
: - Compare com
: temos . Portanto o escoamento a jusante também é subcrítico (fluvial). - Conclusão: não houve mudança de regime; permaneceu fluvial (subcrítico) antes e depois da elevação do fundo.
Resposta
Não houve mudança no regime de escoamento (permanece fluvial).