4 { }^{\text {a }} QUESTÃO. Um canal retangular de 2,20 \mathrm{~m} de largura, transporta em regime permanente e uniforme uma vazão de 2,0 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, com declividade de fundo \mathrm{lo}=0,002 \mathrm{~m} / \mathrm{m} e tendo \mathrm{n}=0,015. O canal passa por uma transição na qual o fundo se eleva 30 cm . Qual deve ser a nova largura requerida para que o nível d’água permaneça constante ? (Despreze as perdas na transição). Verifique, ainda, se houve mudança no regime de escoamento.
[\mathrm{b}=4,5478 \mathrm{~m} ; \mathrm{yc} 1=0,4385 \mathrm{~m} (Fluvial), yc2=0,2702(Fluvial) - Não houve mudança ]

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados:
    Q=2,0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, largura inicial b_1=2,20\\ \mathrm{m}, declividade de fundo S_0=0,002, rugosidade de Manning n=0,015. O fundo do canal sobe 0,30\\ \mathrm{m} numa transição (sem perdas).
  • Perguntas:
    1. Qual deve ser a nova largura b_2 (do trecho a jusante da elevação) para que o nível d’água (elevação da superfície livre, considerada em relação a um datum fixo) permaneça constante atravessando a transição?
    2. Verificar se houve mudança no regime de escoamento (isto é, se passou de subcrítico para supercrítico ou vice‑versa).
      Observação: a água está em escoamento permanente e uniforme em cada trecho longe da transição; vamos usar a fórmula de Manning para escoamento uniforme em canal retangular. A resolução começa agora.

Passo 2

Conceito e estratégia (aula rápida e o plano):
  • A profundidade normal y_n (ou simplesmente y em escoamento uniforme) num canal retangular satisfaz a equação de Manning: Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\sqrt{S_0},onde para retângulo de largura b e profundidade y: A = b\,y,\qquad P = b+2y,\qquad R=\frac{A}{P}=\frac{b\,y}{b+2y}.
    • Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}),
    • n é coeficiente de Manning,
    • S_0 é declividade do fundo (adimensional),
    • A é a área molhada ( \mathrm{m}^2),
    • P é o perímetro molhado ( \mathrm{m}),
    • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}).
  • Plano:
    1. Calcular a profundidade normal antes da elevação, y_1, resolvendo Manning com b_1=2,20\\ \mathrm{m}.
    2. Como queremos que a superfície livre mantenha a mesma elevação absoluta e o fundo a jusante subiu 0,30\\ \mathrm{m}, então a profundidade normal a jusante deve ser y_2 = y_1 - 0,30.(porque a cota do fundo subiu 0,30; para manter a mesma cota da superfície livre, a profundidade diminui 0,30).
    3. Encontrar b_2 tal que, para profundidade y_2, a equação de Manning com Q seja satisfeita.
    4. Verificar os regimes comparando cada profundidade normal y_i com a profundidade crítica y_{c,i}, onde para canal retangular y_c = \left(\frac{Q^2}{g\,b^2}\right)^{1/3},com g=9,81\\ \mathrm{m/s}^2. Se y_n>y_c o escoamento é subcrítico (fluvial), se y_n<y_c é supercrítico (torrencial).

Passo 3

Cálculo de y_1 (profundidade normal no trecho inicial, b_1=2,20\\ \mathrm{m}).
  • Escrevendo Manning para este canal: Q=\frac{1}{n}\,b_1 y_1\left(\frac{b_1 y_1}{b_1+2y_1}\right)^{2/3}\sqrt{S_0}.
  • Vamos usar valores numéricos parciais para simplificar depois: \frac{1}{n}\sqrt{S_0}=\frac{1}{0,015}\sqrt{0,002}\approx 2{,}981424.
  • Substituindo b_1=2{,}20 e Q=2{,}0 obtemos uma equação não linear em y_1. Resolvemos por tentativas (método prático em prova: tentativa e ajuste).
    • Teste y=0{,}55\\ \mathrm{m}: A=2{,}20\cdot0{,}55=1{,}21,\quad P=2{,}20+2\cdot0{,}55=3{,}30,
R=\frac{1{,}21}{3{,}30}=0{,}3667,\quad R^{2/3}\approx0{,}512,
Q_{\text{calc}}=2{,}9814\cdot1{,}21\cdot0{,}512\approx1{,}845\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\\ (<2{,}0).
  • Teste y=0{,}60\\ \mathrm{m}: A=1{,}32,\\ P=3{,}40,\\ R=0{,}3882,\\ R^{2/3}\approx0{,}532,
Q_{\text{calc}}=2{,}9814\cdot1{,}32\cdot0{,}532\approx2{,}09\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\\ (>2{,}0).
  • Ajustando entre 0{,}55 e 0{,}60, testamos y=0{,}581\\ \mathrm{m}: A=2{,}20\cdot0{,}581=1{,}2782,\\ P\approx3{,}362,\\ R\approx0{,}3802,\\ R^{2/3}\approx0{,}5257,
Q_{\text{calc}}=2{,}9814\cdot1{,}2782\cdot0{,}5257\approx2{,}00\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Conclusão numérica (suficiente para prova): y_1\approx0{,}581\\ \mathrm{m}. Guardaremos esta profundidade com três casas significativas.

Passo 4

Cálculo da profundidade crítica a montante e classificação do regime (explicação da fórmula):
  • Fórmula da profundidade crítica em retângulo: y_c=\left(\frac{Q^2}{g\,b^2}\right)^{1/3},onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2.
  • Para b_1=2{,}20: y_{c1}=\left(\frac{2{,}0^2}{9{,}81\cdot2{,}20^2}\right)^{1/3} =\left(\frac{4}{9{,}81\cdot4{,}84}\right)^{1/3} \approx0{,}4385\\ \mathrm{m}.
  • Comparação: y_1\approx0{,}581>y_{c1}\approx0{,}4385. Logo o escoamento no trecho a montante é subcrítico (fluvial). Bom: já sabemos o regime inicial.

Passo 5

Profundidade necessária no trecho a jusante para manter a mesma cota da superfície livre:
  • Se o fundo sobe 0{,}30\\ \mathrm{m} e queremos que a cota da superfície livre permaneça a mesma (mesmo datum), a profundidade a jusante deve diminuir exatamente 0{,}30\\ \mathrm{m}: y_2 = y_1 - 0{,}30 \approx 0{,}581 - 0{,}30 = 0{,}281\\ \mathrm{m}.
  • Esse y_2 é a profundidade normal que queremos que o trecho a jusante apresente (pois o problema especifica regime permanente e uniforme em cada trecho).

Passo 6

Determinar a nova largura b_2 tal que, com profundidade y_2, a equação de Manning seja satisfeita com Q=2{,}0.
  • Reescrevendo Manning para incógnita b (com y=y_2 conhecida): 2{,}0=\frac{1}{n}\,b\,y_2\left(\frac{b\,y_2}{b+2y_2}\right)^{2/3}\sqrt{S_0}.Não há solução algébrica simples; resolvemos por tentativa/iteração (método prático na prova).
  • Vamos usar y_2=0{,}281 e o fator K=\dfrac{1}{n}\sqrt{S_0}\approx2{,}981424.
  • Testes:
    • b=5{,}0\\ \mathrm{m}: A=5\cdot0{,}281=1{,}405,\\ P=5+2\cdot0{,}281=5{,}562,\\ R=0{,}2526,
Q_{\text{calc}}=2{,}9814\cdot1{,}405\cdot(0{,}2526)^{2/3}\approx1{,}674\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\\ (<2{,}0).
  • b=6{,}0\\ \mathrm{m}: A=1{,}686,\\ P=6{,}562,\\ R\approx0{,}2570,\\ (R^{2/3}\approx0{,}4045),
Q_{\text{calc}}\approx2{,}031\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\\ (>2{,}0).
  • Ajuste fino entre 5{,}0 e 6{,}0. Teste b=5{,}9\\ \mathrm{m}: A=5{,}9\cdot0{,}281=1{,}6579,\\ P=5{,}9+0{,}562=6{,}462,\\ R\approx0{,}2566,\\ R^{2/3}\approx0{,}4043,
Q_{\text{calc}}=2{,}9814\cdot1{,}6579\cdot0{,}4043\approx1{,}9995\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\approx2{,}0.
  • Conclusão numérica: b_2\approx5{,}90\\ \mathrm{m} (arredondando para duas casas decimais dá 5{,}90\\ \mathrm{m}). Este é o valor da nova largura que permite, com y_2, satisfazer a equação de Manning para Q=2{,}0.

Passo 7

Verificação do regime a jusante e conclusão sobre mudança de regime:
  • Calcule a profundidade crítica a jusante para b_2: y_{c2}=\left(\frac{Q^2}{g\,b_2^2}\right)^{1/3} =\left(\frac{4}{9{,}81\cdot(5{,}90)^2}\right)^{1/3} \approx0{,}226\\ \mathrm{m}.
  • Compare com y_2: temos y_2\approx0{,}281>y_{c2}\approx0{,}226. Portanto o escoamento a jusante também é subcrítico (fluvial).
  • Conclusão: não houve mudança de regime; permaneceu fluvial (subcrítico) antes e depois da elevação do fundo.

Resposta

b_2\approx5{,}90\\ \mathrm{m}
y_{c1}\approx0{,}4385\\ \mathrm{m} (montante — fluvial), y_{c2}\approx0{,}226\\ \mathrm{m} (jusante — fluvial)
Não houve mudança no regime de escoamento (permanece fluvial).

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