6{ }^{\text {a }} Questão

Determine o campo elétrico em pontos (a) à direita; (b) à esquerda; (c) entre os dois planos paralelos uniformemente carregados com densidades superficiais de carga +\sigma e -\sigma. (i) Determina a força elétrica sobre uma partícula de carga e colocada a uma distância x
entre os dois planos. Agora, considere uma nova configuração em que a densidade de carga dos planos é alterada para +2 \sigma e -4 \sigma, respectivamente. Com esse novo arranjo, determine as propriedades eletroestáticas indicadas nos itens (i) e (ii).

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o campo elétrico em três regiões criadas por dois planos infinitos paralelos com densidades superficiais de carga dadas, e depois que eu calcule a força sobre uma carga colocada entre eles. Mais precisamente:
  • Informações dadas:
    • Dois planos paralelos infinitos, separados por uma distância (chamo de d) — só importa que há uma região “entre” e regiões “à esquerda” e “à direita”.
    • Primeira configuração: densidades superficiais +\sigma (num dos planos) e -\sigma (no outro).
    • Segunda configuração: densidades superficiais +2\sigma e -4\sigma.
    • Uma partícula de carga e é colocada a uma distância x entre os planos (ou seja, na região entre eles).
  • Perguntas (claras):
    • Para a primeira configuração: determinar o campo elétrico em (a) à direita dos dois planos; (b) à esquerda dos dois planos; (c) entre os planos.
    • (i) Para a primeira configuração: determinar a força elétrica sobre a partícula de carga e colocada entre os planos (a uma distância x — a força normalmente não depende de x neste caso devido à uniformidade do campo).
    • Para a segunda configuração (com +2\sigma e -4\sigma): repetir as propriedades eletrostáticas pedidas acima (ou seja, campos nas três regiões e força sobre e entre os planos).

Passo 2

Conceito e fórmula principal — campo de um plano infinito carregado (aula rápida e sem pânico):
  • Um plano infinito com densidade superficial de carga \sigma cria, por simetria, um campo elétrico constante e perpendicular ao plano. A expressão é obtida com uma “caixinha gaussiana” (pillbox) e vale
E_{\text{plano}}=\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}.
  • Aqui:
    • \sigma é a densidade superficial (carga por unidade de área) do plano; se \sigma>0 o campo aponta para fora do plano (isto é, se você está em um lado do plano, o campo aponta para longe do plano); se \sigma<0 o campo aponta para dentro (para o plano).
    • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo.
  • Importante: a direção do campo é sempre perpendicular ao plano; o sentido depende do sinal de \sigma. O módulo é \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}.

Passo 3

Princípio de superposição (como usar na prova, direto e prático):
  • Se eu tenho dois planos, o campo total é soma vetorial dos campos produzidos por cada plano separadamente, porque o eletromagnetismo é linear.
  • Para cada região (à esquerda de ambos, entre eles, à direita de ambos) eu computo o campo de cada plano, atribuindo corretamente o sinal (direção) e somo.

Passo 4

Aplicando isso à primeira configuração: planos com +\sigma (plano A) e -\sigma (plano B).
  • Posicionamento para ficar claro (isso é só escolha de coordenada): tomo o plano A com +\sigma em x=0 e o plano B com -\sigma em x=d. O eixo x aponta para a direita.
  • Campo devido a cada plano (módulos):
    • Plano A ( +\sigma): \displaystyle E_A=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
    • Plano B ( -\sigma): \displaystyle E_B=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (módulo; o sinal/ direção vem da atração para o plano negativo).
  • Agora as regiões:
Região entre os planos ( 0<x<d):
  • Campo do plano A: aponta para a direita (afastando-se do positivo): +\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Campo do plano B: aponta também para a direita (pois o plano negativo atrai, então entre ambos ele puxa para o lado do plano B, isto é, para a direita): +\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Soma (superposição):
E_{\text{entre}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},
direção: da placa positiva para a negativa (da esquerda para a direita no nosso sistema).
Região à esquerda dos dois planos ( x<0):
  • Campo do plano A ( +\sigma) aponta para a esquerda (afastando-se do positivo): -\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Campo do plano B ( -\sigma) aponta para a direita (o plano negativo atrai, e para quem está à esquerda ele puxa para a direita): +\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Soma:
E_{\text{esquerda}}=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=0.
Região à direita dos dois planos ( x>d):
  • Campo do plano A ( +\sigma) aponta para a direita (afastando-se do positivo): +\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Campo do plano B ( -\sigma) aponta para a esquerda (para a região à direita ele atrai para o plano): -\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Soma:
E_{\text{direita}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=0.
Conclusão para a primeira configuração:
  • Fora (à esquerda ou à direita) o campo é zero.
  • Entre os planos o campo é uniforme e vale \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} apontando do plano +\sigma para o plano -\sigma.

Passo 5

Força sobre a partícula de carga e colocada entre os planos (primeira configuração):
  • Força elétrica é \displaystyle \mathbf{F}=q\mathbf{E}.
  • Se a carga é e (assumimos e>0, carga positiva), e o campo entre é \displaystyle \mathbf{E}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}} (para a direita), então
\mathbf{F}=e\cdot\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}}.
  • Em módulo: F=\dfrac{e\sigma}{\varepsilon_0}, direção: da placa positiva para a negativa (direita no nosso sistema).

Passo 6

Agora a segunda configuração: densidades +2\sigma (plano A em x=0) e -4\sigma (plano B em x=d). Repetimos o procedimento por superposição.
Campo produzido por cada plano (módulos):
  • Plano A ( +2\sigma): \displaystyle E_A=\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.
  • Plano B ( -4\sigma): \displaystyle E_B=\frac{4\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{2\sigma}{\varepsilon_0}.
Região entre ( 0<x<d):
  • Plano A empurra para a direita: +\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}.
  • Plano B atrai para a direita (pois o negativo está à direita): +\dfrac{2\sigma}{\varepsilon_0}.
  • Soma:
E_{\text{entre}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}+\frac{2\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{3\sigma}{\varepsilon_0},
direção: para a direita (do +2\sigma para o -4\sigma).
Região à esquerda ( x<0):
  • Plano A ( +2\sigma) dá campo para a esquerda: -\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}.
  • Plano B ( -4\sigma) atrai para a direita (estando à esquerda do plano B): +\dfrac{2\sigma}{\varepsilon_0}.
  • Soma:
E_{\text{esquerda}}=-\frac{\sigma}{\varepsilon_0}+\frac{2\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},
direção: para a direita (ou seja, fora da região entre agora há campo não nulo apontando para a direita).
Região à direita ( x>d):
  • Plano A ( +2\sigma) afasta-se para a direita: +\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}.
  • Plano B ( -4\sigma) atrai para a esquerda (para alguém à direita do plano B): -\dfrac{2\sigma}{\varepsilon_0}.
  • Soma:
E_{\text{direita}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}-\frac{2\sigma}{\varepsilon_0}=-\frac{\sigma}{\varepsilon_0},
isto é, campo de módulo \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} apontando para a esquerda.
Observação física rápida: como as densidades não têm módulo igual e sinais opostos com mesma magnitude, agora sobram cargas líquidas que criam campo não nulo fora do par de planos.

Passo 7

Força sobre a partícula de carga e colocada entre os planos na segunda configuração:
  • O campo entre vale \displaystyle \frac{3\sigma}{\varepsilon_0} para a direita.
  • Então
\mathbf{F}=e\cdot\frac{3\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}}.
  • Módulo F=\dfrac{3e\sigma}{\varepsilon_0}, direção: da placa positiva para a negativa (direita).

Resposta

(a) Primeira configuração — à direita dos planos: \displaystyle E_{\text{direita}}=0.
(b) Primeira configuração — à esquerda dos planos: \displaystyle E_{\text{esquerda}}=0.
(c) Primeira configuração — entre os planos: \displaystyle E_{\text{entre}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0} (do +\sigma para o -\sigma).
(i) Força sobre carga e entre os planos (primeira config.): \displaystyle \mathbf{F}=e\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}} (direção: do +\sigma para o -\sigma).
Segunda configuração ( +2\sigma e -4\sigma):
(a) À direita dos planos: \displaystyle E_{\text{direita}}=-\frac{\sigma}{\varepsilon_0} (módulo \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}, apontando para a esquerda).
(b) À esquerda dos planos: \displaystyle E_{\text{esquerda}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0} (apontando para a direita).
(c) Entre os planos: \displaystyle E_{\text{entre}}=\frac{3\sigma}{\varepsilon_0} (apontando do +2\sigma para o -4\sigma, ou seja, para a direita).
(i) Força sobre carga e entre os planos (segunda config.): \displaystyle \mathbf{F}=e\frac{3\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}} (direção: para a direita).

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