Questão
Determine o campo elétrico em pontos (a) à direita; (b) à esquerda; (c) entre os dois planos paralelos uniformemente carregados com densidades superficiais de carga
e
. (i) Determina a força elétrica sobre uma partícula de carga
colocada a uma distância
entre os dois planos. Agora, considere uma nova configuração em que a densidade de carga dos planos é alterada para
e
, respectivamente. Com esse novo arranjo, determine as propriedades eletroestáticas indicadas nos itens (i) e (ii).
entre os dois planos. Agora, considere uma nova configuração em que a densidade de carga dos planos é alterada para
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o campo elétrico em três regiões criadas por dois planos infinitos paralelos com densidades superficiais de carga dadas, e depois que eu calcule a força sobre uma carga colocada entre eles. Mais precisamente:
- Informações dadas:
- Dois planos paralelos infinitos, separados por uma distância (chamo de
) — só importa que há uma região “entre” e regiões “à esquerda” e “à direita”. - Primeira configuração: densidades superficiais
(num dos planos) e (no outro). - Segunda configuração: densidades superficiais
e . - Uma partícula de carga
é colocada a uma distância entre os planos (ou seja, na região entre eles).
- Dois planos paralelos infinitos, separados por uma distância (chamo de
- Perguntas (claras):
- Para a primeira configuração: determinar o campo elétrico em (a) à direita dos dois planos; (b) à esquerda dos dois planos; (c) entre os planos.
- (i) Para a primeira configuração: determinar a força elétrica sobre a partícula de carga
colocada entre os planos (a uma distância — a força normalmente não depende de neste caso devido à uniformidade do campo). - Para a segunda configuração (com
e ): repetir as propriedades eletrostáticas pedidas acima (ou seja, campos nas três regiões e força sobre entre os planos).
Passo 2
Conceito e fórmula principal — campo de um plano infinito carregado (aula rápida e sem pânico):
- Um plano infinito com densidade superficial de carga
cria, por simetria, um campo elétrico constante e perpendicular ao plano. A expressão é obtida com uma “caixinha gaussiana” (pillbox) e vale
- Aqui:
-
é a densidade superficial (carga por unidade de área) do plano; se o campo aponta para fora do plano (isto é, se você está em um lado do plano, o campo aponta para longe do plano); se o campo aponta para dentro (para o plano). -
é a permissividade elétrica do vácuo.
-
- Importante: a direção do campo é sempre perpendicular ao plano; o sentido depende do sinal de
. O módulo é .
Passo 3
Princípio de superposição (como usar na prova, direto e prático):
- Se eu tenho dois planos, o campo total é soma vetorial dos campos produzidos por cada plano separadamente, porque o eletromagnetismo é linear.
- Para cada região (à esquerda de ambos, entre eles, à direita de ambos) eu computo o campo de cada plano, atribuindo corretamente o sinal (direção) e somo.
Passo 4
Aplicando isso à primeira configuração: planos com
(plano A) e
(plano B).
- Posicionamento para ficar claro (isso é só escolha de coordenada): tomo o plano A com
em e o plano B com em . O eixo aponta para a direita. - Campo devido a cada plano (módulos):
- Plano A (
): . - Plano B (
): (módulo; o sinal/ direção vem da atração para o plano negativo).
- Plano A (
- Agora as regiões:
Região entre os planos (
):
- Campo do plano A: aponta para a direita (afastando-se do positivo):
. - Campo do plano B: aponta também para a direita (pois o plano negativo atrai, então entre ambos ele puxa para o lado do plano B, isto é, para a direita):
. - Soma (superposição):
direção: da placa positiva para a negativa (da esquerda para a direita no nosso sistema).
Região à esquerda dos dois planos (
):
- Campo do plano A (
) aponta para a esquerda (afastando-se do positivo): . - Campo do plano B (
) aponta para a direita (o plano negativo atrai, e para quem está à esquerda ele puxa para a direita): . - Soma:
Região à direita dos dois planos (
):
- Campo do plano A (
) aponta para a direita (afastando-se do positivo): . - Campo do plano B (
) aponta para a esquerda (para a região à direita ele atrai para o plano): . - Soma:
Conclusão para a primeira configuração:
- Fora (à esquerda ou à direita) o campo é zero.
- Entre os planos o campo é uniforme e vale
apontando do plano para o plano .
Passo 5
Força sobre a partícula de carga
colocada entre os planos (primeira configuração):
- Força elétrica é
. - Se a carga é
(assumimos , carga positiva), e o campo entre é (para a direita), então
- Em módulo:
, direção: da placa positiva para a negativa (direita no nosso sistema).
Passo 6
Agora a segunda configuração: densidades
(plano A em
) e
(plano B em
). Repetimos o procedimento por superposição.
Campo produzido por cada plano (módulos):
- Plano A (
): - Plano B (
):
Região entre (
):
- Plano A empurra para a direita:
. - Plano B atrai para a direita (pois o negativo está à direita):
. - Soma:
direção: para a direita (do
para o
).
Região à esquerda (
):
- Plano A (
) dá campo para a esquerda: . - Plano B (
) atrai para a direita (estando à esquerda do plano B): . - Soma:
direção: para a direita (ou seja, fora da região entre agora há campo não nulo apontando para a direita).
Região à direita (
):
- Plano A (
) afasta-se para a direita: . - Plano B (
) atrai para a esquerda (para alguém à direita do plano B): . - Soma:
isto é, campo de módulo
apontando para a esquerda.
Observação física rápida: como as densidades não têm módulo igual e sinais opostos com mesma magnitude, agora sobram cargas líquidas que criam campo não nulo fora do par de planos.
Passo 7
Força sobre a partícula de carga
colocada entre os planos na segunda configuração:
- O campo entre vale
para a direita. - Então
- Módulo
, direção: da placa positiva para a negativa (direita).
Resposta
(a) Primeira configuração — à direita dos planos:
(b) Primeira configuração — à esquerda dos planos:
(c) Primeira configuração — entre os planos: (do
para o
).
(i) Força sobre carga entre os planos (primeira config.):
(direção: do
para o
).
(b) Primeira configuração — à esquerda dos planos:
(c) Primeira configuração — entre os planos:
(i) Força sobre carga
Segunda configuração (
e
):
(a) À direita dos planos: (módulo
, apontando para a esquerda).
(b) À esquerda dos planos: (apontando para a direita).
(c) Entre os planos: (apontando do
para o
, ou seja, para a direita).
(i) Força sobre carga entre os planos (segunda config.):
(direção: para a direita).
(a) À direita dos planos:
(b) À esquerda dos planos:
(c) Entre os planos:
(i) Força sobre carga