1{ }^{\text {a }} Questão) Deduza as expressões:
J_{A}{ }^{*}=N_{A}-X_{A}\left(N_{A}+N_{B}\right)

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a expressão
J_{A}^{*}=N_{A}-X_{A}\left(N_{A}+N_{B}\right).
Informações/dados explícitos do enunciado:
  • Quer-se obter uma fórmula para J_{A}^{*}.
  • Aparecem as grandezas N_{A}, N_{B} e X_{A}.
    Não há outras informações no enunciado; a resolução deve explicar claramente o que cada símbolo significa e como se chega à fórmula pedida.

Passo 2

Definições das grandezas (explicadas com calma):
  • N_{A} e N_{B} são os fluxos molares das espécies A e B, respectivamente. Em unidades típicas: \mathrm{mol}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}. Esses fluxos podem incluir contribuição convectiva (movimento médio) e difusiva (relativa).
  • c_{A} e c_{B} são as concentrações molares (mol por volume) das espécies A e B.
  • c é a concentração total:
c = c_{A}+c_{B}.
  • A fração molar (mole fraction) de A é
X_{A}=\frac{c_{A}}{c}.
Vou usar essas definições para relacionar fluxos, velocidades e frações molares.

Passo 3

Relação entre fluxo molar e velocidade molar local:
  • A velocidade molar da espécie i é v_{i} (média da velocidade das moléculas de i). Então o fluxo molar de i pode ser escrito como
N_{i}=c_{i}\,v_{i}\qquad\text{(para \(i=A,B\)).}
Isto é apenas a definição: número de mols por volume vezes velocidade dá mols por área por tempo.

Passo 4

Definir a velocidade média molar (velocidade de referência) e o fluxo total:
  • A velocidade média molar \bar{v} (pesoada por concentrações) é definida por
\bar{v}=\frac{c_{A}v_{A}+c_{B}v_{B}}{c}.
  • Multiplicando por c obtemos o fluxo molar total N:
N=c\,\bar{v}=c_{A}v_{A}+c_{B}v_{B}=N_{A}+N_{B}.
Portanto o fluxo total é
N=N_{A}+N_{B}.

Passo 5

Identificar a parte “convectiva” de N_{A} quando se mede em relação à velocidade média molar:
  • A contribuição convectiva de A associada ao transporte pelo movimento médio \bar{v} é simplesmente c_{A}\bar{v}.
  • Usando a definição de X_{A} e de N,
c_{A}\bar{v} = \left(\frac{c_{A}}{c}\right) (c\bar{v}) = X_{A} N.
Essa quantidade X_{A}N representa a parcela do fluxo de A que se deve ao transporte conjunto (convectivo) com o fluxo médio molar.

Passo 6

Definir o fluxo difusivo (relativo) J_{A}^{*} e fazer a álgebra:
  • Por definição (quadro habitual em transporte de espécies), o fluxo molar de A pode ser decomposto em uma parte convectiva e uma parte difusiva relativa à velocidade média:
N_{A} = \underbrace{X_{A}N}_{\text{convectiva}} + \underbrace{J_{A}^{*}}_{\text{difusiva relativa}}.
  • Isolando J_{A}^{*} obtemos
J_{A}^{*}=N_{A}-X_{A}N.
  • Substituindo N=N_{A}+N_{B} dá exatamente
J_{A}^{*}=N_{A}-X_{A}\left(N_{A}+N_{B}\right),
que é a expressão pedida.

Resposta

J_{A}^{*}=N_{A}-X_{A}\left(N_{A}+N_{B}\right)

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