3^{\text {a }} Questão

( \mathbf{2 , 0} pontos) Determine (-3 \vec{u}+\vec{v}) \cdot(-2(\vec{u}+\vec{v})), onde \vec{u}=(-1,-1,0) e \vec{v}=(-1,3,-4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar (-3\vec{u}+\vec{v})\cdot(-2(\vec{u}+\vec{v})), onde foram dadas as seguintes informações:
\vec{u}=(-1,-1,0) e \vec{v}=(-1,3,-4).
Então o que precisamos encontrar é um número (o produto escalar) a partir desses dois vetores combinados como indicado.

Passo 2

Relembrando propriedades importantes do produto escalar (isso é o que vamos usar; explico cada uma):
  • Linearidade em cada argumento: para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} e escalar k, (\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c},
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.
Isso significa que podemos distribuir o produto escalar sobre soma de vetores.
  • Fator escalar sai do produto escalar: para qualquer escalar k, (k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(k\vec{b}).Ou seja, multiplicar um vetor por um número é equivalente a multiplicar o resultado do produto escalar por esse número.
  • Definição em coordenadas (produto escalar em \mathbb{R}^3): se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.Aqui cada a_i e b_i são as componentes dos vetores; somamos os produtos das componentes correspondentes.

Passo 3

Aplicando as propriedades, primeiro reescrevo a segunda parte do produto:
-2(\vec{u}+\vec{v}) = -2\vec{u} -2\vec{v}.
Então a expressão fica
(-3\vec{u}+\vec{v})\cdot(-2(\vec{u}+\vec{v})) = (-3\vec{u}+\vec{v})\cdot(-2\vec{u}-2\vec{v}).

Passo 4

Agora distribuo o produto escalar usando linearidade e a regra de fator escalar. Vou expandir termo a termo:
\begin{aligned} (-3\vec{u}+\vec{v})\cdot(-2\vec{u}-2\vec{v}) &= (-3\vec{u})\cdot(-2\vec{u}) + (-3\vec{u})\cdot(-2\vec{v}) \\\ &\quad + \vec{v}\cdot(-2\vec{u}) + \vec{v}\cdot(-2\vec{v}). \end{aligned}
Agora uso que constantes saem do produto escalar:
(-3\vec{u})\cdot(-2\vec{u}) = (-3)(-2)(\vec{u}\cdot\vec{u})=6(\vec{u}\cdot\vec{u}),
(-3\vec{u})\cdot(-2\vec{v}) = (-3)(-2)(\vec{u}\cdot\vec{v})=6(\vec{u}\cdot\vec{v}),
\vec{v}\cdot(-2\vec{u}) = -2(\vec{v}\cdot\vec{u})=-2(\vec{u}\cdot\vec{v}),
\vec{v}\cdot(-2\vec{v}) = -2(\vec{v}\cdot\vec{v}).

Passo 5

Somando essas expressões obtemos uma forma simplificada em termos dos produtos escalares básicos:
(-3\vec{u}+\vec{v})\cdot(-2(\vec{u}+\vec{v})) = 6(\vec{u}\cdot\vec{u}) + 6(\vec{u}\cdot\vec{v}) -2(\vec{u}\cdot\vec{v}) -2(\vec{v}\cdot\vec{v}).
Agrupando os termos com \vec{u}\cdot\vec{v},
=6(\vec{u}\cdot\vec{u}) + 4(\vec{u}\cdot\vec{v}) -2(\vec{v}\cdot\vec{v}).

Passo 6

Agora calculo os produtos escalares básicos usando as componentes dadas. Lembro que \vec{u}=(-1,-1,0) e \vec{v}=(-1,3,-4).
Cálculo de \vec{u}\cdot\vec{u}:
\vec{u}\cdot\vec{u}=(-1)(-1)+(-1)(-1)+0\cdot 0 = 1+1+0 = 2.
Cálculo de \vec{v}\cdot\vec{v}:
\vec{v}\cdot\vec{v}=(-1)(-1)+3\cdot 3+(-4)(-4) = 1+9+16 = 26.
Cálculo de \vec{u}\cdot\vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=(-1)(-1)+(-1)(3)+0\cdot(-4) = 1-3+0 = -2.
(Observação: usei as componentes diretamente das informações dadas no enunciado.)

Passo 7

Substituo os valores obtidos em
6(\vec{u}\cdot\vec{u}) + 4(\vec{u}\cdot\vec{v}) -2(\vec{v}\cdot\vec{v}).
Fica
6\cdot 2 + 4\cdot(-2) -2\cdot 26.
Faço as contas passo a passo:
6\cdot 2 = 12,
4\cdot(-2) = -8,
-2\cdot 26 = -52.
Somando:
12 + (-8) + (-52) = 12 -8 -52 = 4 -52 = -48.

Resposta

-48

Exercícios relacionados