Questão
(
pontos) Determine
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o produto escalar
, onde foram dadas as seguintes informações:
e
.
Então o que precisamos encontrar é um número (o produto escalar) a partir desses dois vetores combinados como indicado.
Então o que precisamos encontrar é um número (o produto escalar) a partir desses dois vetores combinados como indicado.
Passo 2
Relembrando propriedades importantes do produto escalar (isso é o que vamos usar; explico cada uma):
- Linearidade em cada argumento: para quaisquer vetores
e escalar ,
Isso significa que podemos distribuir o produto escalar sobre soma de vetores.
- Fator escalar sai do produto escalar: para qualquer escalar
, Ou seja, multiplicar um vetor por um número é equivalente a multiplicar o resultado do produto escalar por esse número. - Definição em coordenadas (produto escalar em
): se e , então Aqui cada e são as componentes dos vetores; somamos os produtos das componentes correspondentes.
Passo 3
Aplicando as propriedades, primeiro reescrevo a segunda parte do produto:
Então a expressão fica
Passo 4
Agora distribuo o produto escalar usando linearidade e a regra de fator escalar. Vou expandir termo a termo:
Agora uso que constantes saem do produto escalar:
Passo 5
Somando essas expressões obtemos uma forma simplificada em termos dos produtos escalares básicos:
Agrupando os termos com
,
Passo 6
Agora calculo os produtos escalares básicos usando as componentes dadas. Lembro que
e
.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Cálculo de
:
(Observação: usei as componentes diretamente das informações dadas no enunciado.)
Passo 7
Substituo os valores obtidos em
Fica
Faço as contas passo a passo:
Somando: