( \mathbf{2}, \mathbf{0} pontos) Dados os pontos A(1,2,3), B(2,1,4), C(0,2,0) e D(1,-m, 1), determinar o(s) valor(es) de m para que seja de 40 unidades de volume o volume do paralelepípedo \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}.
Passo 1
O enunciado dá os pontos A(1,2,3), B(2,1,4), C(0,2,0) e D(1,-m,1). Pede determinar os valores de m tais que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} seja igual a 40 unidades.
Informações relevantes dadas:
As coordenadas dos pontos A,B,C,D estão fornecidas.
O paralelepípedo é formado pelos vetores que partem de A: \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A}.
O valor alvo do volume é 40.
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas): o volume V de um paralelepípedo determinado por três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto mistura (produto escalar triplo), isto é
V = \left|(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}\right|.
Esse produto mistura é igual ao determinante da matriz 3\times3 cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas dos vetores:
\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3), \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) são as componentes dos vetores.
\times é o produto vetorial (gera um vetor ortogonal aos dois primeiros).
\cdot é o produto escalar.
\det(\cdot) é o determinante, que aqui dá um número (podendo ser negativo), e o volume usa o valor absoluto desse número.
Exemplo curtinho pra fixar: se \mathbf{u}=(1,0,0), \mathbf{v}=(0,1,0), \mathbf{w}=(0,0,1), então a matriz é a identidade e \det=1, logo V=1 — é o cubinho de aresta 1.]
Passo 3
Agora calculamos explicitamente os vetores que entram no determinante. Subtraindo coordenadas ponto a ponto:
Calculamos o determinante passo a passo, expandindo pela primeira linha (pode escolher outra linha, mas aqui fica simples). A regra de expansão por cofatores na primeira linha dá:
Verificação rápida (só para certeza): se m=19 temos determinante -2(20)=-40 e |-40|=40. Se m=-21 temos determinante -2(-20)=40 e |40|=40. Ambas satisfazem a condição.