( \mathbf{2}, \mathbf{0} pontos) Dados os pontos A(1,2,3), B(2,1,4), C(0,2,0) e D(1,-m, 1), determinar o(s) valor(es) de m para que seja de 40 unidades de volume o volume do paralelepípedo \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,2,3), B(2,1,4), C(0,2,0) e D(1,-m,1). Pede determinar os valores de m tais que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} seja igual a 40 unidades.
Informações relevantes dadas:
  • As coordenadas dos pontos A,B,C,D estão fornecidas.
  • O paralelepípedo é formado pelos vetores que partem de A: \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A}.
  • O valor alvo do volume é 40.

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas): o volume V de um paralelepípedo determinado por três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto mistura (produto escalar triplo), isto é
V = \left|(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}\right|.
Esse produto mistura é igual ao determinante da matriz 3\times3 cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas dos vetores:
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} = \det\begin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1\\[4pt] u_2 & v_2 & w_2\\[4pt] u_3 & v_3 & w_3 \end{pmatrix}.
O significado de cada símbolo:
  • \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3), \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) são as componentes dos vetores.
  • \times é o produto vetorial (gera um vetor ortogonal aos dois primeiros).
  • \cdot é o produto escalar.
  • \det(\cdot) é o determinante, que aqui dá um número (podendo ser negativo), e o volume usa o valor absoluto desse número.
Exemplo curtinho pra fixar: se \mathbf{u}=(1,0,0), \mathbf{v}=(0,1,0), \mathbf{w}=(0,0,1), então a matriz é a identidade e \det=1, logo V=1 — é o cubinho de aresta 1.]

Passo 3

Agora calculamos explicitamente os vetores que entram no determinante. Subtraindo coordenadas ponto a ponto:
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(2-1,\;1-2,\;4-3)= (1,\,-1,\;1).
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}=(0-1,\;2-2,\;0-3)=(-1,\;0,\,-3).
\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A}=(1-1,\;-m-2,\;1-3)=(0,\,-m-2,\,-2).
Anotei passo a passo: para cada componente eu subtraí a coordenada de A da coordenada do ponto correspondente.

Passo 4

Montamos a matriz cujas colunas são \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}. Assim o produto mistura é o determinante
\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & -m-2\\[4pt] 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}.
O volume pedido é o valor absoluto desse determinante:
V = \left|\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & -m-2\\[4pt] 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}\right|.]

Passo 5

Calculamos o determinante passo a passo, expandindo pela primeira linha (pode escolher outra linha, mas aqui fica simples). A regra de expansão por cofatores na primeira linha dá:
\det = 1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -m-2\\[4pt]-3 & -2\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & -m-2\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix} +0\cdot(\dots).
Agora calculamos cada menor 2\times2.
Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}0 & -m-2\\[4pt]-3 & -2\end{pmatrix} = 0\cdot(-2) - (-m-2)\cdot(-3) = 0 - 3(m+2) = -3(m+2).
Segundo menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & -m-2\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix} = (-1)\cdot(-2) - (-m-2)\cdot 1 = 2 -(-m-2) = 2 + m + 2 = m+4.
Substituindo na expansão:
\det = 1\cdot\big(-3(m+2)\big) -(-1)\cdot(m+4) = -3(m+2) + (m+4).]

Passo 6

Continuando a simplificação:
-3(m+2) + (m+4) = -3m -6 + m + 4 = -2m -2 = -2(m+1).
Portanto o produto mistura é -2(m+1) e o volume é o valor absoluto:
V = \left|-2(m+1)\right| = 2\,|m+1|.
Queremos V=40, então
2\,|m+1| = 40 \quad\Longrightarrow\quad |m+1| = 20.
Isto gera as duas possibilidades
m+1 = 20 \quad\Rightarrow\quad m=19,
m+1 = -20 \quad\Rightarrow\quad m=-21.

Passo 7

Verificação rápida (só para certeza): se m=19 temos determinante -2(20)=-40 e |-40|=40. Se m=-21 temos determinante -2(-20)=40 e |40|=40. Ambas satisfazem a condição.

Resposta

m=19
m=-21

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