1^{\underline{\mathrm{a}}} Questão

( \mathbf{2 , 0} pontos) Classifique as seguintes afirmações em Verdadeiro (V) ou Falso (F) (questões rasuradas não serão consideradas):
( ) Sejam \vec{u}=(a, b, c) e \vec{v}=(d, e, f). Temos que \vec{u} \cdot \vec{v}=0 se, e somente se, \vec{u}=(0,0,0) ou \vec{v}=(0,0,0).
( ) \quad \vec{u} \times \vec{v}=\|\vec{u}\| \cdot\|\vec{v}\| \cdot \operatorname{sen}(\theta), onde \theta representa o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
( ) \vec{u} \times \vec{v}=\vec{v} \times \vec{u}.
( ) Os pontos A, B, C, D são coplanares se \overrightarrow{A B} \cdot(\overrightarrow{A C} \times \overrightarrow{A D}) \neq 0.
( ) A área de um triângulo formado pelos vetores \overrightarrow{A C} e \overrightarrow{A D} é dado \operatorname{por}(\overrightarrow{A C} \times \overrightarrow{A D}) / 2.

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as cinco afirmações abaixo. As afirmações dadas são:
(1) Sejam \vec{u}=(a,b,c) e \vec{v}=(d,e,f). Temos que \vec{u}\cdot\vec{v}=0 se, e somente se, \vec{u}=(0,0,0) ou \vec{v}=(0,0,0).
(2) \quad \vec{u}\times\vec{v}=\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot\operatorname{sen}(\theta), onde \theta representa o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
(3) \vec{u}\times\vec{v}=\vec{v}\times\vec{u}.
(4) Os pontos A,B,C,D são coplanares se \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})\neq 0.
(5) A área de um triângulo formado pelos vetores \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD} é dado \operatorname{por}(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})/2.
Vou analisar cada afirmação passo a passo, explicando os conceitos necessários e dando exemplos/cálculos para decidir V ou F.

Passo 2

Conceito e análise da afirmação (1).
  • Definição do produto escalar: para \vec{u}=(a,b,c) e \vec{v}=(d,e,f) define-se
\vec{u}\cdot\vec{v}=ad+be+cf.
  • Relação com o ângulo: também vale a fórmula
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos(\theta),
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, e \|\vec{u}\| é a norma (comprimento) de \vec{u}.
  • Interpretação: \vec{u}\cdot\vec{v}=0 significa que \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos(\theta)=0. Isso pode ocorrer se uma das normas for zero (ou seja, um vetor é o vetor nulo) ou se \cos(\theta)=0, isto é, \theta=90^\circ (vetores ortogonais).
  • Contraexemplo para a afirmação (1): tome \vec{u}=(1,0,0) e \vec{v}=(0,1,0). Calculando
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 0,
mas nenhum dos dois é o vetor nulo. Portanto a afirmação "se, e somente se, \vec{u}=(0,0,0) ou \vec{v}=(0,0,0)" é falsa.
  • Conclusão da análise (1): a afirmação (1) é FALSA.

Passo 3

Conceito e análise da afirmação (2).
  • Definição do produto vetorial: para \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^3 o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a \vec{u} e a \vec{v} cuja direção obedece à regra da mão direita e cujo módulo (norma) é
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin(\theta),
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
  • Observação importante sobre tipos: a quantidade \vec{u}\times\vec{v} é um vetor; a expressão \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin(\theta) é um número real não-negativo (escala), igual ao módulo do vetor \vec{u}\times\vec{v}.
  • Avaliando a afirmação (2): ela escreve \vec{u}\times\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\operatorname{sen}(\theta), ou seja, iguala um vetor a um escalar. Isso está incorreto: o correto é
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin(\theta).
  • Exemplo para clareza: com \vec{u}=(1,0,0) e \vec{v}=(0,1,0) temos \vec{u}\times\vec{v}=(0,0,1) (vetor) e \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin(90^\circ)=1 (escalar). Não são a mesma entidade. Logo a afirmação (2) tal como escrita é FALSA.

Passo 4

Conceito e análise da afirmação (3).
  • Propriedade do produto vetorial: o produto vetorial é anti-comutativo. Para quaisquer \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^3 vale
\vec{u}\times\vec{v} = -\,(\vec{v}\times\vec{u}).
  • Consequência: em geral \vec{u}\times\vec{v}\neq\vec{v}\times\vec{u}, exceto em casos especiais (por exemplo quando um dos produtos resulta no vetor nulo).
  • Exemplo simples: com \vec{u}=(1,0,0) e \vec{v}=(0,1,0) temos
\vec{u}\times\vec{v}=(0,0,1),\qquad \vec{v}\times\vec{u}=(0,0,-1),
portanto são opostos, não iguais.
  • Conclusão da análise (3): a afirmação (3) é FALSA.

Passo 5

Conceito e análise da afirmação (4).
  • Definição do produto misto (produto escalar do produto vetorial): para vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} define-se o produto misto
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}),
que é um número real. Geometricamente esse valor (em módulo) é o volume do paralelepípedo construído sobre \vec{a},\vec{b},\vec{c}.
  • Critério de coplanaridade: três vetores \vec{b}-\vec{a},\vec{c}-\vec{a},\vec{d}-\vec{a} (ou equivalentemente \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}) são coplanares se e somente se o produto misto for zero:
\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})=0
significa que o volume do paralelepípedo é zero, logo os vetores estão no mesmo plano (são linearmente dependentes). Se o produto misto for diferente de zero, os três vetores são linearmente independentes e não estão todos no mesmo plano.
  • O enunciado (4) diz o contrário: "são coplanares se \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})\neq 0". Isso inverte a condição correta.
  • Exemplo: escolha A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(1,1,0). Esses quatro pontos estão no plano z=0 (são coplanares). Calculando vetores: \overrightarrow{AB}=(1,0,0), \overrightarrow{AC}=(0,1,0), \overrightarrow{AD}=(1,1,0). Então
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}=(0,1,0)\times(1,1,0)=(0,0,-1),
e
\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})=(1,0,0)\cdot(0,0,-1)=0.
Produto misto zero corresponde a coplanaridade, como esperado. Assim a afirmação (4) é FALSA.

Passo 6

Conceito e análise da afirmação (5).
  • Área de um paralelogramo: para \vec{p},\vec{q}\in\mathbb{R}^3 a área do paralelogramo construído sobre \vec{p} e \vec{q} é dada por
\text{Área}_{\text{paralelogramo}}=\|\vec{p}\times\vec{q}\|.Á
  • Área de um triângulo formado por \vec{p} e \vec{q}: se o triângulo tem lados representados por \vec{p} e \vec{q} (ou seja, é a metade do paralelogramo), sua área é
\text{Área}_{\triangle}=\frac{1}{2}\,\|\vec{p}\times\vec{q}\|.Á
  • Observação sobre a afirmação (5): ela escreve (\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})/2 sem indicar norma. Assim parece dividir um vetor por 2 e dizer que é a área, o que está incorreto: a área é um escalar; o correto é
\text{Área}=\frac{1}{2}\,\big\|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\big\|.Á
  • Exemplo numérico: com \overrightarrow{AC}=(1,0,0) e \overrightarrow{AD}=(0,1,0) o triângulo tem área \tfrac{1}{2}. Calculando o cross:
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}=(0,0,1), \qquad \big\|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\big\|=1,
logo \text{Área}=\tfrac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{1}{2}Á. A expressão vetorial sem norma não é a área. Portanto a afirmação (5) é FALSA.

Resposta

(F)
(F)
(F)
(F)
(F)

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