4.61 Sejam
e
eventos independentes com
e
. Encontre: (i)
, (ii)
, (iii)
.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados:
-
. -
. - Os eventos
e são independentes (isto é uma informação importante).
Perguntas:
(i) Determinar .
(ii) Determinar .
(iii) Determinar .
(i) Determinar
(ii) Determinar
(iii) Determinar
Passo 2
Lembrando fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- Fórmula da união de dois eventos (válida sempre):
Aqui
é a probabilidade de que ocorra pelo menos um dos eventos
ou
;
é a probabilidade de ocorrerem ambos.
- Definição de independência entre
e :
see são independentes então
Isso significa que a ocorrência de
não altera a probabilidade de
e vice‑versa.
- Definição de probabilidade condicional:
E de forma geral para o complementar:
Vou aplicar essas fórmulas com os números que o enunciado deu.
Passo 3
Usar a fórmula da união e a independência para achar
.
Substituindo
na fórmula da união:
Colocando os valores conhecidos
e
, escrevo uma equação para
:
Agora resolvo passo a passo. Primeiro agrupo os termos em
:
Isolo
:
Calculo o lado direito com denominador comum
:
Logo
Portanto
Passo 4
Agora calculo
. Uso a definição de probabilidade condicional:
Como
e
são independentes temos
. Substituo:
Se
(temos
, então é maior que zero) podemos cancelar
:
E como
, obtemos
Comentário: isso reflete a ideia de independência — saber que
ocorreu não muda a probabilidade de
.
Passo 5
Agora
. Posso usar duas maneiras equivalentes; farei a via direta por complementação condicional, que é bem didática.
Método 1 (complemento da condicional):
Como
e
são independentes vale
. Então
Método 2 (por definição):
Usando
e dividindo por
:
Ambos dão o mesmo resultado
, perfeito.
Passo 6
Resumo rápido dos valores encontrados (tudo já deduzido e conferido):
-
. -
. -
.