4.61 Sejam A e B eventos independentes com P(A)=\frac{1}{2} e P(A \cup B)=\frac{2}{3}. Encontre: (i) P(B), (ii) P(A \mid B), (iii) P\left(B^{c} \mid A\right).

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados:
  • P(A)=\dfrac{1}{2}.
  • P(A\cup B)=\dfrac{2}{3}.
  • Os eventos A e B são independentes (isto é uma informação importante).
Perguntas:
(i) Determinar P(B).
(ii) Determinar P(A\mid B).
(iii) Determinar P\bigl(B^{c}\mid A\bigr).

Passo 2

Lembrando fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Fórmula da união de dois eventos (válida sempre):
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Aqui P(A\cup B) é a probabilidade de que ocorra pelo menos um dos eventos A ou B; P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem ambos.
  • Definição de independência entre A e B:
    se A e B são independentes então
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Isso significa que a ocorrência de A não altera a probabilidade de B e vice‑versa.
  • Definição de probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad\text{se }P(B)>0.
E de forma geral para o complementar:
P(B^{c}\mid A)=\frac{P(A\cap B^{c})}{P(A)}.
Vou aplicar essas fórmulas com os números que o enunciado deu.

Passo 3

Usar a fórmula da união e a independência para achar P(B).
Substituindo P(A\cap B)=P(A)P(B) na fórmula da união:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B).
Colocando os valores conhecidos P(A\cup B)=\dfrac{2}{3} e P(A)=\dfrac{1}{2}, escrevo uma equação para p:=P(B):
\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}+p-\dfrac{1}{2}p.
Agora resolvo passo a passo. Primeiro agrupo os termos em p:
\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}+p\Bigl(1-\dfrac{1}{2}\Bigr)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}p.
Isolo \dfrac{1}{2}p:
\dfrac{1}{2}p=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}.
Calculo o lado direito com denominador comum 6:
\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{6}-\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{6}.
Logo
\dfrac{1}{2}p=\dfrac{1}{6}\quad\Rightarrow\quad p= \dfrac{1}{6}\cdot 2=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
Portanto
P(B)=\dfrac{1}{3}.

Passo 4

Agora calculo P(A\mid B). Uso a definição de probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Como A e B são independentes temos P(A\cap B)=P(A)P(B). Substituo:
P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}.
Se P(B)>0 (temos P(B)=\tfrac{1}{3}, então é maior que zero) podemos cancelar P(B):
P(A\mid B)=P(A).
E como P(A)=\dfrac{1}{2}, obtemos
P(A\mid B)=\dfrac{1}{2}.
Comentário: isso reflete a ideia de independência — saber que B ocorreu não muda a probabilidade de A.

Passo 5

Agora P\bigl(B^{c}\mid A\bigr). Posso usar duas maneiras equivalentes; farei a via direta por complementação condicional, que é bem didática.
Método 1 (complemento da condicional):
P\bigl(B^{c}\mid A\bigr)=1-P(B\mid A).
Como A e B são independentes vale P(B\mid A)=P(B). Então
P\bigl(B^{c}\mid A\bigr)=1-P(B)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.
Método 2 (por definição):
P\bigl(B^{c}\mid A\bigr)=\frac{P(A\cap B^{c})}{P(A)}=\frac{P(A)-P(A\cap B)}{P(A)}.
Usando P(A\cap B)=P(A)P(B) e dividindo por P(A):
P\bigl(B^{c}\mid A\bigr)=\frac{P(A)-P(A)P(B)}{P(A)}=1-P(B)=\dfrac{2}{3}.
Ambos dão o mesmo resultado \dfrac{2}{3}, perfeito.

Passo 6

Resumo rápido dos valores encontrados (tudo já deduzido e conferido):
  • P(B)=\dfrac{1}{3}.
  • P(A\mid B)=\dfrac{1}{2}.
  • P\bigl(B^{c}\mid A\bigr)=\dfrac{2}{3}.

Resposta

P(B)=\dfrac{1}{3}
P(A\mid B)=\dfrac{1}{2}
P\bigl(B^{c}\mid A\bigr)=\dfrac{2}{3}

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