) Questão (3,0pts)
(a)
Explique o que significa uma sequência numérica ser convergente.
(b)
Enuncie algum resultado que garanta a convergência de uma sequência.
(c)
Decida se a sequência a seguir é convergente ou divergente.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado tem três itens. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
- Pedido (a): explicar o que significa uma sequência numérica ser convergente.
- Pedido (b): enunciar algum resultado (teorema) que garanta convergência de uma sequência.
- Pedido (c): decidir se a sequência
é convergente ou divergente, e em caso afirmativo indicar o limite.
Informações relevantes dadas:
- A sequência é definida para
. - Cada termo é
, ou seja, sinais alternados e denominador quadrático em .
Passo 2
(a) Definição formal e explicação da convergência de uma sequência.
Definição formal (epsilon–
): A sequência
é convergente e tem limite
se, para todo
, existe um inteiro
tal que, para todo
,
Explicando cada símbolo e a ideia por trás:
-
é um número pequeno que representa o quanto aceitamos de erro entre e o valor limite . -
é um índice (inteiro) que depende de ; significa que a partir do termo em diante todos os termos da sequência ficam dentro da “banda” de raio ao redor de . - A condição
diz que a distância entre e é menor que . - Intuição: os termos
se aproximam cada vez mais de quando cresce; para qualquer tolerância consegue-se um ponto da sequência a partir do qual todos os termos posteriores ficam dentro dessa tolerância.
Exemplo simples para intuir: a sequência
converge para
porque, dado qualquer
, se escolhermos
então para
temos
, ou seja
.
Passo 3
(b) Enunciado de um resultado que garante convergência (um teorema útil e sua explicação).
Teorema (Teorema da convergência de sequências monótonas e limitadas): Se
é monótona crescente e limitada superiormente, então
converge. De forma análoga, se
é monótona decrescente e limitada inferiormente, então
converge.
Explicando:
- “Monótona crescente” significa que
para todo . - “Limitada superiormente” significa que existe
tal que para todo . - O teorema garante a existência de um limite finito (igual ao ínfimo dos supremos das caudas ou ao supremo dos valores da sequência — não é preciso memorizar essa formulação agora, basta saber que existe um limite).
- Exemplo rápido:
é crescente e está limitada por , então converge e o limite é .
Obs.: outro resultado importante (mencionável) é o critério de Cauchy: uma sequência converge se, e somente se, for de Cauchy (os termos ficam mutuamente próximos). Aqui usei o teorema da monotonia porque é simples e muito usado.
Passo 4
(c) Análise da sequência
.
Primeira observação: o fator
só altera o sinal dos termos (faz alternarem sinais), enquanto a magnitude dos termos é
Vou estudar o comportamento de
quando
.
Passo 5
Estimativa simples para
e conclusão intuitiva.
Note que, para todo
,
Portanto
Como já sabemos (ou se aceita) que
quando
, a desigualdade acima mostra que
está limitada superiormente por um termo que tende a
. Intuitivamente isso força
, e portanto
(o sinal alternante não impede a convergência quando a magnitude vai a zero).
Passo 6
Aplicação do Teorema do Confronto (squeeze theorem) e conclusão do limite.
Como temos para todo
e já provamos
, obtemos
Sabendo que
e
, pelo Teorema do Confronto segue que
Portanto a sequência é convergente e seu limite é
.
Passo 7
Prova formal em estilo epsilon–
(opcional, para fixar a técnica):
Dado
, escolha um inteiro
tal que
(por exemplo
). Para todo
vale
Isso mostra que, segundo a definição epsilon–
,
.
Resposta
(a) Uma sequência
é convergente se existe
tal que, para todo
, existe
com
.
(b) Teorema: Se
é monótona crescente e limitada superiormente (ou monótona decrescente e limitada inferiormente), então
converge.
(c) A sequência
é convergente e