1{ }^{\text {a }} ) Questão (3,0pts)
(a) (0,5 \mathrm{pt}) Explique o que significa uma sequência numérica ser convergente.
(b) (1,0 \mathrm{pt}) Enuncie algum resultado que garanta a convergência de uma sequência.
(c) (1,5 \mathrm{pt}) Decida se a sequência a seguir é convergente ou divergente.
\left(a_{n}\right)=\left(\frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+1}\right)_{1}^{\infty}

Passo 1

O enunciado tem três itens. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
  • Pedido (a): explicar o que significa uma sequência numérica ser convergente.
  • Pedido (b): enunciar algum resultado (teorema) que garanta convergência de uma sequência.
  • Pedido (c): decidir se a sequência
\left(a_{n}\right)=\left(\frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+1}\right)_{1}^{\infty}
é convergente ou divergente, e em caso afirmativo indicar o limite.
Informações relevantes dadas:
  • A sequência é definida para n=1,2,3,\dots.
  • Cada termo é \displaystyle a_n=\frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+1}, ou seja, sinais alternados e denominador quadrático em n.

Passo 2

(a) Definição formal e explicação da convergência de uma sequência.
Definição formal (epsilon– N): A sequência \displaystyle (a_n)_{n=1}^\infty é convergente e tem limite L se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N,
|a_n-L|<\varepsilon.
Explicando cada símbolo e a ideia por trás:
  • \varepsilon>0 é um número pequeno que representa o quanto aceitamos de erro entre a_n e o valor limite L.
  • N é um índice (inteiro) que depende de \varepsilon; significa que a partir do termo N em diante todos os termos da sequência ficam dentro da “banda” de raio \varepsilon ao redor de L.
  • A condição |a_n-L|<\varepsilon diz que a distância entre a_n e L é menor que \varepsilon.
  • Intuição: os termos a_n se aproximam cada vez mais de L quando n cresce; para qualquer tolerância \varepsilon consegue-se um ponto da sequência a partir do qual todos os termos posteriores ficam dentro dessa tolerância.
Exemplo simples para intuir: a sequência \displaystyle \left(\frac{1}{n}\right) converge para 0 porque, dado qualquer \varepsilon>0, se escolhermos N>\frac{1}{\varepsilon} então para n\ge N temos \frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon, ou seja |1/n-0|<\varepsilon.

Passo 3

(b) Enunciado de um resultado que garante convergência (um teorema útil e sua explicação).
Teorema (Teorema da convergência de sequências monótonas e limitadas): Se \displaystyle (a_n) é monótona crescente e limitada superiormente, então \displaystyle (a_n) converge. De forma análoga, se \displaystyle (a_n) é monótona decrescente e limitada inferiormente, então \displaystyle (a_n) converge.
Explicando:
  • “Monótona crescente” significa que a_{n+1}\ge a_n para todo n.
  • “Limitada superiormente” significa que existe M\in\mathbb{R} tal que a_n\le M para todo n.
  • O teorema garante a existência de um limite finito (igual ao ínfimo dos supremos das caudas ou ao supremo dos valores da sequência — não é preciso memorizar essa formulação agora, basta saber que existe um limite).
  • Exemplo rápido: a_n=1-\dfrac{1}{n} é crescente e está limitada por 1, então converge e o limite é 1.
Obs.: outro resultado importante (mencionável) é o critério de Cauchy: uma sequência converge se, e somente se, for de Cauchy (os termos ficam mutuamente próximos). Aqui usei o teorema da monotonia porque é simples e muito usado.

Passo 4

(c) Análise da sequência \displaystyle a_n=\frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+1}.
Primeira observação: o fator (-1)^{n-1} só altera o sinal dos termos (faz alternarem sinais), enquanto a magnitude dos termos é
|a_n|=\frac{n}{n^{2}+1}.
Vou estudar o comportamento de |a_n| quando n\to\infty.

Passo 5

Estimativa simples para |a_n| e conclusão intuitiva.
Note que, para todo n\ge1,
n^{2}+1 \ge n^{2}.
Portanto
|a_n|=\frac{n}{n^{2}+1}\le\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n}.
Como já sabemos (ou se aceita) que \displaystyle \frac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, a desigualdade acima mostra que |a_n| está limitada superiormente por um termo que tende a 0. Intuitivamente isso força |a_n|\to 0, e portanto a_n\to 0 (o sinal alternante não impede a convergência quando a magnitude vai a zero).

Passo 6

Aplicação do Teorema do Confronto (squeeze theorem) e conclusão do limite.
Como temos para todo n\ge1
-|a_n|\le a_n\le |a_n|
e já provamos |a_n|\le\frac{1}{n}, obtemos
-\frac{1}{n}\le a_n\le\frac{1}{n}.
Sabendo que \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 e \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Portanto a sequência é convergente e seu limite é 0.

Passo 7

Prova formal em estilo epsilon– N (opcional, para fixar a técnica):
Dado \varepsilon>0, escolha um inteiro N tal que N>1/\varepsilon (por exemplo N=\left\lceil 1/\varepsilon\right\rceil+1). Para todo n\ge N vale
|a_n-0|=|a_n|=\frac{n}{n^{2}+1}\le\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso mostra que, segundo a definição epsilon– N, a_n\to 0.

Resposta

(a) Uma sequência \displaystyle (a_n) é convergente se existe L\in\mathbb{R} tal que, para todo \varepsilon>0, existe N com n\ge N\Rightarrow |a_n-L|<\varepsilon.
(b) Teorema: Se \displaystyle (a_n) é monótona crescente e limitada superiormente (ou monótona decrescente e limitada inferiormente), então \displaystyle (a_n) converge.
(c) A sequência \displaystyle \left(\frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+1}\right) é convergente e
\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+1}=0.

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