4{ }^{\text {a }} Questão:

O movimento de um oscilador subcriticamente amortecido é descrito pela equação x(t)= A e^{-\frac{\gamma}{2} t} \cos (\omega t+\varphi), na qual A>0 e \varphi é a fase do movimento. (a) Se o oscilador parte da posição de equilíbrio com uma velocidade v_{0}, determine as expressões de A e \varphi em termos de v_{0}. (b) Determine o valor de v_{0} e sentido dessa velocidade. (c) Determine a expressão para a aceleração \mathrm{em} t=0.

Passo 1

O enunciado dá a solução do oscilador subcriticamente amortecido
x(t)=A e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos(\omega t+\varphi),
com A>0. Diz que o oscilador "parte da posição de equilíbrio com uma velocidade v_0". Isto fornece as condições iniciais em t=0:
  • posição inicial: x(0)=0 (posição de equilíbrio);
  • velocidade inicial: x'(0)=v_0.
O que o problema pede:
(a) Expressar A e \varphi em termos de v_0.
(b) Determinar o valor (módulo) de v_0 e o sentido (sinal) dessa velocidade, relacionando com A e \varphi.
(c) Determinar a expressão da aceleração em t=0, isto é x''(0).

Passo 2

Primeiro precisamos calcular a velocidade x'(t) a partir de x(t). Vou lembrar e usar regras básicas de derivação:
  • Regra do produto: (fg)'=f'g+fg'.
  • Derivada da exponencial: \dfrac{d}{dt}e^{-\frac{\gamma}{2}t}=-\dfrac{\gamma}{2}e^{-\frac{\gamma}{2}t}.
  • Derivada do cosseno: \dfrac{d}{dt}\cos(\omega t+\varphi)=-\omega\sin(\omega t+\varphi).
Aplicando a regra do produto em x(t)=A\big(e^{-\frac{\gamma}{2}t}\big)\cos(\omega t+\varphi) obtemos a fórmula geral de x'(t) (faço as contas passo a passo no próximo passo).
Também usarei a condição x(0)=0 para obter uma equação que relaciona A e \varphi, e em seguida usarei x'(0)=v_0 para obter outra relação. Como A>0, isso fixará o sinal de \varphi em relação a v_0.

Passo 3

Derivo x(t) passo a passo.
Calcule a velocidade:
x'(t)=A\frac{d}{dt}\big(e^{-\frac{\gamma}{2}t}\big)\cos(\omega t+\varphi) + A e^{-\frac{\gamma}{2}t}\frac{d}{dt}\cos(\omega t+\varphi).
Substituindo as derivadas:
x'(t)=A\Big(-\frac{\gamma}{2}e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos(\omega t+\varphi) + e^{-\frac{\gamma}{2}t}\big(-\omega\sin(\omega t+\varphi)\big)\Big).
Fatorando A e^{-\frac{\gamma}{2}t}:
x'(t)=A e^{-\frac{\gamma}{2}t}\Big(-\frac{\gamma}{2}\cos(\omega t+\varphi)-\omega\sin(\omega t+\varphi)\Big).
Agora avalio em t=0:
x(0)=A\cos(\varphi), \qquad x'(0)=A\Big(-\frac{\gamma}{2}\cos\varphi-\omega\sin\varphi\Big).
Usando a condição x(0)=0 (parte do enunciado: parte da posição de equilíbrio), obtemos
A\cos\varphi=0.
Como A>0, segue que
\cos\varphi=0,
portanto
\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Para essas \varphi vale \sin\varphi=(-1)^k (ou seja \sin\varphi=\pm1).
Substitindo \cos\varphi=0 em x'(0) obtemos
v_0 = x'(0) = -A\omega\sin\varphi.
Como \sin\varphi=\pm1, concluímos que
v_0 = \mp A\omega,
isto é, o módulo de v_0 é
|v_0|=A\omega.
Agora resolvemos para A e \varphi em termos de v_0. Da relação acima:
A=\frac{|v_0|}{\omega}.
Quanto a \varphi, como \sin\varphi=\pm1 e v_0=-A\omega\sin\varphi, escolhemos o valor de \varphi que torne A>0 compatível com o sinal de v_0. Dois casos práticos e convenientes:
  • Se v_0>0: então \sin\varphi=-1 e podemos escolher
\varphi=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad(\text{ex.: }\varphi=-\tfrac{\pi}{2}).
  • Se v_0<0: então \sin\varphi=+1 e podemos escolher
\varphi=+\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad(\text{ex.: }\varphi=+\tfrac{\pi}{2}).
(Se v_0=0 e x(0)=0 então a condição força A=0 e a solução é a trivial x(t)\equiv0; mas o enunciado assumiu A>0 então normalmente v_0\neq0.)

Passo 4

Resumo e interpretação para a parte (b): valor e sentido de v_0.
A relação geral (usando \cos\varphi=0) é
v_0=-A\omega\sin\varphi.
Como \sin\varphi=\pm1 isto significa concretamente
v_0=\pm A\omega,
ou seja o módulo de v_0 é |v_0|=A\omega.
Sentido (sinal):
  • Se \varphi=-\tfrac{\pi}{2} (ou equivalentes), então \sin\varphi=-1 e v_0=+A\omega — velocidade inicial apontando para o sentido positivo de x.
  • Se \varphi=+\tfrac{\pi}{2}, então \sin\varphi=+1 e v_0=-A\omega — velocidade inicial apontando para o sentido negativo de x.

Passo 5

Parte (c): aceleração em t=0.
Podemos derivar novamente ou usar a expressão genérica obtida antes. Vou diferenciar x'(t) (fiz a derivada de maneira organizada no Passo 3, então aqui uso o resultado já simplificado). Derivando x'(t)=A e^{-\frac{\gamma}{2}t}\big(-\tfrac{\gamma}{2}\cos(\omega t+\varphi)-\omega\sin(\omega t+\varphi)\big) e avaliando em t=0 (mostro o resultado direto):
x''(0)=A\Big(\frac{\gamma^2}{4}-\omega^2\Big)\cos\varphi + A\gamma\omega\sin\varphi.
Usando \cos\varphi=0 (condição de partir da origem) isto simplifica muito:
x''(0)=A\gamma\omega\sin\varphi.
Mas lembrando que v_0=-A\omega\sin\varphi (do Passo 3), temos
x''(0)= -\gamma v_0.
Esse resultado é simples e intuitivo: a aceleração inicial é proporcional e oposta à velocidade inicial, com constante de proporcionalidade \gamma (efeito amortecedor).

Resposta

(a) A=\dfrac{|v_0|}{\omega}. \varphi=-\dfrac{\pi}{2} se v_0>0 (ou seja \sin\varphi=-1); \varphi=+\dfrac{\pi}{2} se v_0<0 (ou seja \sin\varphi=+1).\n
(b) |v_0|=A\omega. O sentido: v_0=+A\omega quando \varphi=-\tfrac{\pi}{2} (velocidade para +x); v_0=-A\omega quando \varphi=+\tfrac{\pi}{2} (velocidade para -x).\n
(c) x''(0)=-\gamma v_0.

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