Questão:
O movimento de um oscilador subcriticamente amortecido é descrito pela equação
, na qual
e
é a fase do movimento. (a) Se o oscilador parte da posição de equilíbrio com uma velocidade
, determine as expressões de
e
em termos de
. (b) Determine o valor de
e sentido dessa velocidade. (c) Determine a expressão para a aceleração
.
Passo 1
O enunciado dá a solução do oscilador subcriticamente amortecido
com
. Diz que o oscilador "parte da posição de equilíbrio com uma velocidade
". Isto fornece as condições iniciais em
:
- posição inicial:
(posição de equilíbrio); - velocidade inicial:
.
O que o problema pede:
(a) Expressar e
em termos de
.
(b) Determinar o valor (módulo) de e o sentido (sinal) dessa velocidade, relacionando com
e
.
(c) Determinar a expressão da aceleração em , isto é
.
(a) Expressar
(b) Determinar o valor (módulo) de
(c) Determinar a expressão da aceleração em
Passo 2
Primeiro precisamos calcular a velocidade
a partir de
. Vou lembrar e usar regras básicas de derivação:
- Regra do produto:
. - Derivada da exponencial:
. - Derivada do cosseno:
.
Aplicando a regra do produto em
obtemos a fórmula geral de
(faço as contas passo a passo no próximo passo).
Também usarei a condição
para obter uma equação que relaciona
e
, e em seguida usarei
para obter outra relação. Como
, isso fixará o sinal de
em relação a
.
Passo 3
Derivo
passo a passo.
Calcule a velocidade:
Substituindo as derivadas:
Fatorando
:
Agora avalio em
:
Usando a condição
(parte do enunciado: parte da posição de equilíbrio), obtemos
Como
, segue que
portanto
Para essas
vale
(ou seja
).
Substitindo
em
obtemos
Como
, concluímos que
isto é, o módulo de
é
Agora resolvemos para
e
em termos de
. Da relação acima:
Quanto a
, como
e
, escolhemos o valor de
que torne
compatível com o sinal de
. Dois casos práticos e convenientes:
- Se
: então e podemos escolher
- Se
: então e podemos escolher
(Se
e
então a condição força
e a solução é a trivial
; mas o enunciado assumiu
então normalmente
.)
Passo 4
Resumo e interpretação para a parte (b): valor e sentido de
.
A relação geral (usando
) é
Como
isto significa concretamente
ou seja o módulo de
é
.
Sentido (sinal):
- Se
(ou equivalentes), então e — velocidade inicial apontando para o sentido positivo de . - Se
, então e — velocidade inicial apontando para o sentido negativo de .
Passo 5
Parte (c): aceleração em
.
Podemos derivar novamente ou usar a expressão genérica obtida antes. Vou diferenciar
(fiz a derivada de maneira organizada no Passo 3, então aqui uso o resultado já simplificado). Derivando
e avaliando em
(mostro o resultado direto):
Usando
(condição de partir da origem) isto simplifica muito:
Mas lembrando que
(do Passo 3), temos
Esse resultado é simples e intuitivo: a aceleração inicial é proporcional e oposta à velocidade inicial, com constante de proporcionalidade
(efeito amortecedor).
Resposta
(a)
.
se
(ou seja
);
se
(ou seja
).\n
(b) . O sentido:
quando
(velocidade para
);
quando
(velocidade para
).\n
(c) .
(b)
(c)