1{ }^{\text {a }} Questão:

Um pêndulo de torção não amortecido, consistindo de um disco de momento de inércia I, suspenso em equilíbrio, por um fio vertical, tem frequência de oscilação natural \omega_{0} e move-se sob a ação de um torque externo, \tau=\tau_{0} \cos (\omega t), partindo da posição de equilíbrio com velocidade inicial nula. Encontre a expressão da trajetória \theta(t) do pêndulo para t>0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um pêndulo de torção não amortecido com disco de momento de inércia I.
  • Frequência natural de pequena oscilação \omega_{0}.
  • Torque externo aplicado \tau(t)=\tau_{0}\cos(\omega t).
  • Condições iniciais: parte da posição de equilíbrio (logo \theta(0)=0) e com velocidade angular inicial nula (logo \dot{\theta}(0)=0).
    O que se pede:
  • Encontrar a expressão da trajetória \theta(t) para t>0.

Passo 2

Montar a equação do movimento. Para pequenas oscilações, o fio aplica um torque restaurador proporcional a -\theta; escrevemos esse torque como -\kappa \theta, com constante de rigidez torsional \kappa. Pela segunda lei de Newton rotacional:
I\ddot{\theta} = -\kappa \theta + \tau_{0}\cos(\omega t).
Aqui \theta(t) é o deslocamento angular (em rad), \ddot{\theta} é a aceleração angular, e \kappa tem unidades de torque por radiano. A relação entre \kappa e a frequência natural é
\omega_{0}^{2}=\frac{\kappa}{I}\quad\Rightarrow\quad \kappa=I\omega_{0}^{2}.
Substituindo isso na equação obtemos a forma padronizada do oscilador forçado:
\ddot{\theta}+\omega_{0}^{2}\theta=\frac{\tau_{0}}{I}\cos(\omega t).

Passo 3

Estrutura da solução. A equação
\ddot{\theta}+\omega_{0}^{2}\theta=\frac{\tau_{0}}{I}\cos(\omega t)
é uma equação linear homogênea com termo forçante (não homogênea) de coeficientes constantes. A solução geral é soma da solução da homogênea mais uma solução particular:
\theta(t)=\theta_{h}(t)+\theta_{p}(t).
Vamos primeiro achar \theta_{h} e depois \theta_{p}. Em seguida aplicamos as condições iniciais para determinar constantes.

Passo 4

Solução homogênea. A equação homogênea é
\ddot{\theta}+\omega_{0}^{2}\theta=0,
cuja solução geral é
\theta_{h}(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t),
onde A e B são constantes que serão fixadas pelas condições iniciais. Explicando rapidinho: supondo \theta_{h}\propto e^{\lambda t} leva a \lambda^{2}+\omega_{0}^{2}=0, logo \lambda=\pm i\omega_{0} e a combinação linear das partes real e imaginária dá cosseno e seno.

Passo 5

Solução particular para o caso \omega\neq\omega_{0}. Quando a frequência de excitação \omega é diferente da natural \omega_{0}, tentamos uma solução particular do tipo
\theta_{p}(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t),
porque o forçante é \cos(\omega t). Calculamos derivadas:
\ddot{\theta}_{p}=-C\omega^{2}\cos(\omega t)-D\omega^{2}\sin(\omega t).
Substituindo em \ddot{\theta}+\omega_{0}^{2}\theta=(\tau_{0}/I)\cos(\omega t) obtemos
\big(C(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\big)\cos(\omega t)+\big(D(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\big)\sin(\omega t)=\frac{\tau_{0}}{I}\cos(\omega t).
Comparando coeficientes dos termos \cos(\omega t) e \sin(\omega t) vem
C(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})=\frac{\tau_{0}}{I},\qquad D(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})=0.
Como \omega\neq\omega_{0} então \omega_{0}^{2}-\omega^{2}\neq0, daí
D=0,\qquad C=\frac{\tau_{0}/I}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}.
Portanto, para \omega\neq\omega_{0},
\theta_{p}(t)=\frac{\tau_{0}/I}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\cos(\omega t).

Passo 6

Solução geral e aplicação das condições iniciais para \omega\neq\omega_{0}. A solução total é
\theta(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t)+\frac{\tau_{0}/I}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\cos(\omega t).
Usando \theta(0)=0 temos
0=\theta(0)=A+\frac{\tau_{0}/I}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\quad\Rightarrow\quad A=-\frac{\tau_{0}/I}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}.
A derivada é
\dot{\theta}(t)=-A\omega_{0}\sin(\omega_{0}t)+B\omega_{0}\cos(\omega_{0}t)-\frac{\tau_{0}/I}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\omega\sin(\omega t).
Aplicando \dot{\theta}(0)=0
0=\dot{\theta}(0)=B\omega_{0}\quad\Rightarrow\quad B=0.
Substituindo A e B na solução total obtemos, para \omega\neq\omega_{0},
\theta(t)= -\frac{\tau_{0}/I}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\cos(\omega_{0}t)+\frac{\tau_{0}/I}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\cos(\omega t).
Fatorando,
\theta(t)=\frac{\tau_{0}}{I(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})}\big(\cos(\omega t)-\cos(\omega_{0}t)\big).
Observação física rápida: essa forma mostra batimentos quando \omega está próxima de \omega_{0}, e é a solução típica de um oscilador linear não amortecido forçado com partida do equilíbrio.

Passo 7

Caso ressonante \omega=\omega_{0}. Quando \omega=\omega_{0} a tentativa anterior falha porque o denominador zera; então a forma do forçante é solução da homogênea e precisamos tentar uma solução particular da forma
\theta_{p}(t)=t\big(a\sin(\omega_{0}t)+b\cos(\omega_{0}t)\big).
Calculando \ddot{\theta}_{p}+\omega_{0}^{2}\theta_{p} (fazer conta com cuidado) resulta em
\ddot{\theta}_{p}+\omega_{0}^{2}\theta_{p}=2\omega_{0}\big(a\cos(\omega_{0}t)-b\sin(\omega_{0}t)\big).
Queremos que isso seja igual a (\tau_{0}/I)\cos(\omega_{0}t). Assim
2\omega_{0}a=\frac{\tau_{0}}{I},\qquad -2\omega_{0}b=0.
Logo b=0 e a=\dfrac{\tau_{0}}{2I\omega_{0}}. Assim uma particular válida é
\theta_{p}(t)=\frac{\tau_{0}}{2I\omega_{0}}\,t\sin(\omega_{0}t).
A solução geral no caso ressonante é
\theta(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t)+\frac{\tau_{0}}{2I\omega_{0}}\,t\sin(\omega_{0}t).
Aplicando \theta(0)=0 e \dot{\theta}(0)=0: em t=0 tem-se A=0; ao derivar e avaliar em t=0 obtém-se B=0. Portanto, para \omega=\omega_{0},
\theta(t)=\frac{\tau_{0}}{2I\omega_{0}}\,t\sin(\omega_{0}t).
Isto mostra crescimento proporcional a t (crescimento secular) típico do caso sem amortecimento na ressonância.

Resposta

\displaystyle \theta(t)=\frac{\tau_{0}}{I(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})}\big(\cos(\omega t)-\cos(\omega_{0}t)\big)\quad(\omega\neq\omega_{0})\n
\displaystyle \theta(t)=\frac{\tau_{0}}{2I\omega_{0}}\,t\sin(\omega_{0}t)\quad(\omega=\omega_{0})

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