Questão:
Um pêndulo de torção não amortecido, consistindo de um disco de momento de inércia
, suspenso em equilíbrio, por um fio vertical, tem frequência de oscilação natural
e move-se sob a ação de um torque externo,
, partindo da posição de equilíbrio com velocidade inicial nula. Encontre a expressão da trajetória
do pêndulo para
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um pêndulo de torção não amortecido com disco de momento de inércia
. - Frequência natural de pequena oscilação
. - Torque externo aplicado
. - Condições iniciais: parte da posição de equilíbrio (logo
) e com velocidade angular inicial nula (logo ).
O que se pede: - Encontrar a expressão da trajetória
para .
Passo 2
Montar a equação do movimento. Para pequenas oscilações, o fio aplica um torque restaurador proporcional a
; escrevemos esse torque como
, com constante de rigidez torsional
. Pela segunda lei de Newton rotacional:
Aqui
é o deslocamento angular (em rad),
é a aceleração angular, e
tem unidades de torque por radiano. A relação entre
e a frequência natural é
Substituindo isso na equação obtemos a forma padronizada do oscilador forçado:
Passo 3
Estrutura da solução. A equação
é uma equação linear homogênea com termo forçante (não homogênea) de coeficientes constantes. A solução geral é soma da solução da homogênea mais uma solução particular:
Vamos primeiro achar
e depois
. Em seguida aplicamos as condições iniciais para determinar constantes.
Passo 4
Solução homogênea. A equação homogênea é
cuja solução geral é
onde
e
são constantes que serão fixadas pelas condições iniciais. Explicando rapidinho: supondo
leva a
, logo
e a combinação linear das partes real e imaginária dá cosseno e seno.
Passo 5
Solução particular para o caso
. Quando a frequência de excitação
é diferente da natural
, tentamos uma solução particular do tipo
porque o forçante é
. Calculamos derivadas:
Substituindo em
obtemos
Comparando coeficientes dos termos
e
vem
Como
então
, daí
Portanto, para
,
Passo 6
Solução geral e aplicação das condições iniciais para
. A solução total é
Usando
temos
A derivada é
Aplicando
dá
Substituindo
e
na solução total obtemos, para
,
Fatorando,
Observação física rápida: essa forma mostra batimentos quando
está próxima de
, e é a solução típica de um oscilador linear não amortecido forçado com partida do equilíbrio.
Passo 7
Caso ressonante
. Quando
a tentativa anterior falha porque o denominador zera; então a forma do forçante é solução da homogênea e precisamos tentar uma solução particular da forma
Calculando
(fazer conta com cuidado) resulta em
Queremos que isso seja igual a
. Assim
Logo
e
. Assim uma particular válida é
A solução geral no caso ressonante é
Aplicando
e
: em
tem-se
; ao derivar e avaliar em
obtém-se
. Portanto, para
,
Isto mostra crescimento proporcional a
(crescimento secular) típico do caso sem amortecimento na ressonância.