3{ }^{\text {a }} Questão:

Um pêndulo simples consiste de uma massa m pendurada a partir de um ponto fixo por um fio de massa desprezível, inextensível, de comprimento l. Seja g a aceleração da gravidade local e \theta o ângulo entre o pêndulo e a direção vertical. No que segue, faça sempre a aproximação de pequenos ângulos. (a) Escreva a equação de movimento desprezando o atrito. Obtenha a frequência natural \omega do pêndulo. (b) Determine \theta(\mathrm{t}) para as seguintes condições iniciais: \theta(0)=0 e \frac{d \theta}{d t}(0)=\Omega. (c) Escreva a equação do movimento do pêndulo na presença de uma foça de atrito viscoso dada por F_{R}=2 m \sqrt{g l} \frac{d \theta}{d t}. (d) Na situação do item (c), determine \theta(t) para as seguintes condições iniciais: \theta(t=0)=\theta_{0} \mathrm{e} d \theta / d t(t=0)=0.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados fixos: massa m, comprimento do fio l, aceleração da gravidade g. Usa-se sempre a aproximação de pequenos ângulos.
  • Variável principal: ângulo \theta(t) entre o pêndulo e a vertical.
  • O enunciado pede:
    (a) escrever a equação de movimento desprezando atrito e obter a frequência natural \omega;
    (b) resolver \theta(t) para as condições iniciais \theta(0)=0 e \dfrac{d\theta}{dt}(0)=\Omega;
    (c) escrever a equação de movimento quando há força de atrito viscoso F_{R}=2m\sqrt{gl}\,\dfrac{d\theta}{dt};
    (d) na situação de (c), determinar \theta(t) para \theta(0)=\theta_{0} e \dfrac{d\theta}{dt}(0)=0.

Passo 2

Derivando a equação de movimento sem atrito (modelo do pêndulo simples, pequenos ângulos).
  • Usamos o balanço de torques (segundo teorema do momento): \sum \tau = I \alpha, onde I é o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão e \alpha=\ddot\theta é a aceleração angular.
  • Para a massa pontual m a uma distância l do pivô, tem-se
I = m l^{2}.
  • O torque gravitacional (no sentido que tende a trazer o pêndulo para a vertical) é \tau_g = - m g l \sin\theta. O sinal negativo indica que a gravidade tende a reduzir \theta.
  • Aplicando pequenos ângulos usamos a aproximação de primeira ordem
\sin\theta \approx \theta,
que é válida para \theta pequeno (em radianos). Isso lineariza o problema.
  • Portanto o balanço de torques fica
m l^{2}\,\ddot\theta = - m g l\,\theta.
  • Dividindo por m l^{2} obtemos a equação diferencial linear homogênea:
\ddot\theta + \dfrac{g}{l}\,\theta = 0.

Passo 3

Identificando a frequência natural \omega e solução geral do caso sem atrito.
  • A equação
\ddot\theta + \dfrac{g}{l}\,\theta = 0
é a equação do oscilador harmônico simples. Definimos
\omega^{2}=\dfrac{g}{l},\qquad \omega=\sqrt{\dfrac{g}{l}}.
  • A solução geral é combinação de senos e cossenos:
\theta(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicando as condições iniciais do item (b): \theta(0)=0 e \dfrac{d\theta}{dt}(0)=\Omega.
  • Em t=0:
\theta(0)=A\cos 0 + B\sin 0 = A = 0 \quad\Rightarrow\quad A=0.
  • Derivando a solução:
\dot\theta(t) = -A\omega\sin(\omega t) + B\omega\cos(\omega t).
Em t=0:
\dot\theta(0)=B\omega = \Omega \quad\Rightarrow\quad B=\dfrac{\Omega}{\omega}.
  • Logo a solução específica é
\theta(t)=\dfrac{\Omega}{\omega}\,\sin(\omega t).
Isto significa que o pêndulo começa com ângulo zero e velocidade angular inicial \Omega; a amplitude angular máxima é \dfrac{\Omega}{\omega}.

Passo 5

Equação de movimento com atrito viscoso dado F_{R}=2m\sqrt{g l}\,\dfrac{d\theta}{dt}.
  • A força de atrito actua tangencialmente e tem módulo F_{R}, com sentido oposto ao movimento. O torque devido ao atrito é \tau_{R} = - F_{R}\,l (sinal negativo porque dissipa energia).
  • Balanço de torques agora:
m l^{2}\,\ddot\theta = - m g l\,\sin\theta - F_{R}\,l.
  • Usando \sin\theta\approx\theta e substituindo F_{R} temos
m l^{2}\,\ddot\theta = - m g l\,\theta - \bigl(2 m\sqrt{g l}\,\dot\theta\bigr)\,l.
  • Dividindo por m l^{2} obtemos a equação linear com amortecimento:
\ddot\theta + 2\sqrt{\dfrac{g}{l}}\,\dot\theta + \dfrac{g}{l}\,\theta = 0.
  • Observação física: o coeficiente de amortecimento é 2\sqrt{g/l}. Comparando com o oscilador amortecido padrão \ddot\theta + 2\zeta\omega_{0}\dot\theta + \omega_{0}^{2}\theta=0 com \omega_{0}=\sqrt{g/l}, aqui 2\zeta\omega_{0}=2\omega_{0} então \zeta=1. Ou seja, o sistema está criticamente amortecido (caso limite entre subamortecido e superamortecido).

Passo 6

Resolver o caso criticamente amortecido (item d) com \theta(0)=\theta_{0} e \dot\theta(0)=0.
  • Para \omega_{0}=\sqrt{\dfrac{g}{l}} a equação é
\ddot\theta + 2\omega_{0}\dot\theta + \omega_{0}^{2}\theta = 0.
  • A equação característica tem raiz dupla r=-\omega_{0}. A solução geral no caso de raiz dupla é
\theta(t)=(A + B t)\,e^{-\omega_{0} t},
com constantes A,B determinadas pelas condições iniciais.
  • Aplicando \theta(0)=\theta_{0}:
\theta(0)=A=\theta_{0}\quad\Rightarrow\quad A=\theta_{0}.
  • Derivando:
\dot\theta(t)=\bigl(B - \omega_{0}(A + B t)\bigr)e^{-\omega_{0} t}.
Em t=0 e com \dot\theta(0)=0:
\dot\theta(0)=B - \omega_{0}A = 0 \quad\Rightarrow\quad B = \omega_{0}A = \omega_{0}\theta_{0}.
  • Substituindo A e B na solução geral obtemos
\theta(t)=\left(\theta_{0} + \omega_{0}\theta_{0}\,t\right)e^{-\omega_{0} t} = \theta_{0}\,(1+\omega_{0} t)\,e^{-\omega_{0} t}.
  • Em termos de g e l podemos escrever \omega_{0}=\sqrt{g/l}, então
\theta(t)=\theta_{0}\!\left(1+t\sqrt{\dfrac{g}{l}}\right)\!e^{-t\sqrt{\tfrac{g}{l}}}.

Resposta

(a) \ddot\theta + \dfrac{g}{l}\,\theta = 0,\qquad \omega=\sqrt{\dfrac{g}{l}}
(b) \theta(t)=\dfrac{\Omega}{\omega}\,\sin(\omega t) com \omega=\sqrt{\dfrac{g}{l}}
(c) \ddot\theta + 2\sqrt{\dfrac{g}{l}}\,\dot\theta + \dfrac{g}{l}\,\theta = 0
(d) \theta(t)=\theta_{0}\,(1+\omega_{0}t)\,e^{-\omega_{0} t} com \omega_{0}=\sqrt{\dfrac{g}{l}}.

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