Questão:
Um pêndulo simples consiste de uma massa
pendurada a partir de um ponto fixo por um fio de massa desprezível, inextensível, de comprimento
. Seja
a aceleração da gravidade local e
o ângulo entre o pêndulo e a direção vertical. No que segue, faça sempre a aproximação de pequenos ângulos. (a) Escreva a equação de movimento desprezando o atrito. Obtenha a frequência natural
do pêndulo. (b) Determine
para as seguintes condições iniciais:
e
. (c) Escreva a equação do movimento do pêndulo na presença de uma foça de atrito viscoso dada por
. (d) Na situação do item (c), determine
para as seguintes condições iniciais:
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados fixos: massa
, comprimento do fio , aceleração da gravidade . Usa-se sempre a aproximação de pequenos ângulos. - Variável principal: ângulo
entre o pêndulo e a vertical. - O enunciado pede:
(a) escrever a equação de movimento desprezando atrito e obter a frequência natural;
(b) resolverpara as condições iniciais e ;
(c) escrever a equação de movimento quando há força de atrito viscoso;
(d) na situação de (c), determinarpara e .
Passo 2
Derivando a equação de movimento sem atrito (modelo do pêndulo simples, pequenos ângulos).
- Usamos o balanço de torques (segundo teorema do momento):
, onde é o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão e é a aceleração angular. - Para a massa pontual
a uma distância do pivô, tem-se
- O torque gravitacional (no sentido que tende a trazer o pêndulo para a vertical) é
. O sinal negativo indica que a gravidade tende a reduzir . - Aplicando pequenos ângulos usamos a aproximação de primeira ordem
que é válida para
pequeno (em radianos). Isso lineariza o problema.
- Portanto o balanço de torques fica
- Dividindo por
obtemos a equação diferencial linear homogênea:
Passo 3
Identificando a frequência natural
e solução geral do caso sem atrito.
- A equação
é a equação do oscilador harmônico simples. Definimos
- A solução geral é combinação de senos e cossenos:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Aplicando as condições iniciais do item (b):
e
.
- Em
:
- Derivando a solução:
Em
:
- Logo a solução específica é
Isto significa que o pêndulo começa com ângulo zero e velocidade angular inicial
; a amplitude angular máxima é
.
Passo 5
Equação de movimento com atrito viscoso dado
.
- A força de atrito actua tangencialmente e tem módulo
, com sentido oposto ao movimento. O torque devido ao atrito é (sinal negativo porque dissipa energia). - Balanço de torques agora:
- Usando
e substituindo temos
- Dividindo por
obtemos a equação linear com amortecimento:
- Observação física: o coeficiente de amortecimento é
. Comparando com o oscilador amortecido padrão com , aqui então . Ou seja, o sistema está criticamente amortecido (caso limite entre subamortecido e superamortecido).
Passo 6
Resolver o caso criticamente amortecido (item d) com
e
.
- Para
a equação é
- A equação característica tem raiz dupla
. A solução geral no caso de raiz dupla é
com constantes
determinadas pelas condições iniciais.
- Aplicando
:
- Derivando:
Em
e com
:
- Substituindo
e na solução geral obtemos
- Em termos de
e podemos escrever , então
Resposta
(a)
(b) com
(c)
(d) com
.
(b)
(c)
(d)