(5 { }^{\text {a }} Questão - 2,0 pontos)
Encontre o volume da “casquinha de sorvete” D cortada da esfera sólida x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e pelo cone z=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{3}}.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região D que está dentro da esfera sólida
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
e acima do cone
z=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{3}}.
O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas esféricas, pois a esfera e o cone ficam muito simples nesse sistema.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho (distância à origem), \varphi (ângulo polar medido a partir do eixo z) e \theta (ângulo azimutal no plano xy). As fórmulas de conversão são
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
e o elemento de volume é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 vira simplesmente \rho=1. O cone dado por
z=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{3}}
satisfeito por z\ge0 pode ser escrito como
\rho\cos\varphi = \sqrt{\frac{\rho^{2}\sin^{2}\varphi}{3}} \;\Longrightarrow\; \cos\varphi = \frac{\sin\varphi}{\sqrt{3}} \;\Longrightarrow\; \tan\varphi = \sqrt{\tfrac13} \;\Longrightarrow\; \varphi = \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = \tfrac{\pi}{6}.
Logo o cone corresponde ao limite \varphi=\pi/6.

Passo 4

A região D em esféricas é
0 \le \rho \le 1,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le \varphi \le \tfrac{\pi}{6}.
Portanto o volume é
V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/6} \int_{0}^{1} \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Primeiro integramos em \rho:
\int_{0}^{1}\rho^{2}\,d\rho = \Bigl[\tfrac{\rho^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3}.
Em seguida, em \theta: esse integral só multiplica por 2\pi. Resta
V = 2\pi \cdot \tfrac{1}{3} \int_{0}^{\pi/6}\sin\varphi\,d\varphi = \tfrac{2\pi}{3}\,\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/6} = \tfrac{2\pi}{3}\,\bigl(1 - \cos\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 6

Como \cos(\pi/6)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
1 - \cos\tfrac{\pi}{6} = 1 - \tfrac{\sqrt{3}}{2}
portanto
V = \frac{2\pi}{3}\Bigl(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\,\pi}{3}.

Resposta

V = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\,\pi}{3}.

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