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Questão - 2,0 pontos)
Encontre o volume da “casquinha de sorvete”
cortada da esfera sólida
e pelo cone
.
Encontre o volume da “casquinha de sorvete”
Passo 1
O enunciado pede o volume da região
que está dentro da esfera sólida
e acima do cone
O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas esféricas, pois a esfera e o cone ficam muito simples nesse sistema.
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
(distância à origem),
(ângulo polar medido a partir do eixo
) e
(ângulo azimutal no plano
). As fórmulas de conversão são
e o elemento de volume é
Passo 3
A esfera
vira simplesmente
. O cone dado por
satisfeito por
pode ser escrito como
Logo o cone corresponde ao limite
.
Passo 4
A região
em esféricas é
Portanto o volume é
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Em seguida, em
: esse integral só multiplica por
. Resta
Passo 6
Como
, temos
portanto