(4
Questão - 2,0 pontos)
Calcule a integral abaixo usando a ordem de integração de maneira apropriada.
Calcule a integral abaixo usando a ordem de integração de maneira apropriada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Fubini para separar as integrais em
e em
, e depois simplificar a parte em
mudando a ordem de integração. Vamos precisar também de substituição em uma integral simples
.
Passo 2
Observe que a região de integração em
é independente de
. Além disso
Logo, pela separabilidade,
Passo 3
Vamos calcular primeiro
Em
, a região é
Para inverter a ordem, note que
varia de
(quando
) até
, e para cada
dado temos
. Assim
Passo 4
Integramos em
primeiro (aqui
é constante em
):
Passo 5
Fazemos a substituição
, de modo que
ou
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Então
Portanto
Passo 6
Agora calculamos a parte em
:
Passo 7
Multiplicando as duas partes, a integral original vale