(4 { }^{\text {a }} Questão - 2,0 pontos)
Calcule a integral abaixo usando a ordem de integração de maneira apropriada.
\int_{0}^{4} \int_{0}^{1} \int_{2 y}^{2} \frac{4 \cos \left(x^{2}\right)}{2 \sqrt{z}} d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{4}\int_{0}^{1}\int_{2y}^{2}\frac{4\cos\bigl(x^{2}\bigr)}{2\sqrt{z}}\;dx\,dy\,dz.
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Fubini para separar as integrais em z e em (x,y), e depois simplificar a parte em (x,y) mudando a ordem de integração. Vamos precisar também de substituição em uma integral simples \int x\cos(x^2)\,dx.

Passo 2

Observe que a região de integração em z é independente de (x,y). Além disso
\frac{4\cos\bigl(x^{2}\bigr)}{2\sqrt{z}} =2\,\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,z^{-\tfrac12}.
Logo, pela separabilidade,
\int_{0}^{4}\int_{0}^{1}\int_{2y}^{2}\frac{4\cos(x^{2})}{2\sqrt{z}}\,dx\,dy\,dz =\Bigl(\int_{0}^{4}2\,z^{-\tfrac12}dz\Bigr)\; \Bigl(\int_{0}^{1}\int_{2y}^{2}\cos(x^{2})\,dx\,dy\Bigr).

Passo 3

Vamos calcular primeiro
I_{xy}=\int_{0}^{1}\int_{2y}^{2}\cos(x^{2})\,dx\,dy.
Em (x,y), a região é
0\le y\le1,\quad 2y\le x\le2.
Para inverter a ordem, note que x varia de 0 (quando y=0) até 2, e para cada x dado temos 0\le y\le x/2. Assim
I_{xy} =\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{x/2}\cos(x^{2})\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos em y primeiro (aqui \cos(x^2) é constante em y):
I_{xy} =\int_{0}^{2}\Bigl[y\Bigr]_{0}^{x/2}\cos(x^{2})\,dx =\int_{0}^{2}\frac{x}{2}\cos(x^{2})\,dx =\frac12\int_{0}^{2}x\cos(x^{2})\,dx.

Passo 5

Fazemos a substituição u=x^{2}, de modo que du=2x\,dx ou x\,dx=\tfrac12\,du. Quando x vai de 0 a 2, u vai de 0 a 4. Então
\int_{0}^{2}x\cos(x^{2})\,dx =\int_{0}^{4}\frac12\cos(u)\,du =\frac12\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{4} =\frac12\sin(4).
Portanto
I_{xy} =\frac12\cdot\frac12\sin(4) =\frac{\sin(4)}{4}.

Passo 6

Agora calculamos a parte em z:
I_{z}=\int_{0}^{4}2\,z^{-\tfrac12}\,dz =2\int_{0}^{4}z^{-\tfrac12}\,dz =2\Bigl[2\,z^{\tfrac12}\Bigr]_{0}^{4} =4\bigl(\sqrt{4}-0\bigr) =4\cdot2 =8.

Passo 7

Multiplicando as duas partes, a integral original vale
I_{z}\times I_{xy} =8\times\frac{\sin(4)}{4} =2\,\sin(4).

Resposta

2\sin(4)

Exercícios relacionados