Seja K \subset \mathbb{R}^{2} uma lâmina com densidade superficial \delta(x, y). I_{x}, o momento de inércia em relação ao eixo x, e I_{y}, o momento de inércia em relação ao eixo y são definidos por
I_{x}=\iint_{K} y^{2} \delta(x, y) d x d y \text { e } I_{y}=\iint_{K} x^{2} \delta(x, y) d x d y .
O momento de inércia polar I_{0} é definido por I_{0}=I_{x}+I_{y}.
Considerando a, \lambda>0 constantes fixas, seja K \subset \mathbb{R}^{2} uma lâmina com o formato da região delimitada pelas retas y=0, x=a, y=x com desidade superficial \delta(x, y)=\frac{\lambda y}{a}.
(a) (\mathbf{0 , 2}) Desenhe a região do formato da lâmina K.
(b) (0,2) Escreva a região do formato da lâmina K em coordenadas cartesianas.
(c) (\mathbf{0}, \mathbf{6}) Calcule I_{x}, I_{y} e I_{0}.

Passo 1

Resumindo: temos uma lâmina triangular K delimitada pelas retas y=0, y=x e x=a, com densidade superficial
\delta(x,y)=\frac{\lambda y}{a}. O objetivo é
  • (a) desenhar essa região,
  • (b) descrevê-la em coordenadas cartesianas,
  • (c) calcular
    \displaystyle I_x=\iint_{K}y^2\,\delta(x,y)\,dx\,dy,
    \displaystyle I_y=\iint_{K}x^2\,\delta(x,y)\,dx\,dy
    e o momento polar
    \displaystyle I_0=I_x+I_y.

Passo 2

O desenho de K é um triângulo com vértices (0,0), (a,0) e (a,a). Em coordenadas cartesianas,
K=\{(x,y)\mid 0\le x\le a,\;0\le y\le x\}.

Passo 3

Para I_x escrevemos
I_x=\iint_{K}y^2\,\delta(x,y)\,dx\,dy =\iint_{K}y^2\frac{\lambda y}{a}\,dx\,dy =\frac{\lambda}{a}\int_{0}^{a}\!\!\int_{0}^{x}y^3\,dy\,dx.
Integrando em y: \int_{0}^{x}y^3\,dy=\tfrac{x^4}{4}. Logo
I_x =\frac{\lambda}{a}\int_{0}^{a}\frac{x^4}{4}\,dx =\frac{\lambda}{a}\cdot\frac{a^5}{20} =\frac{\lambda a^4}{20}.

Passo 4

Para I_y temos
I_y=\iint_{K}x^2\,\delta(x,y)\,dx\,dy =\iint_{K}x^2\frac{\lambda y}{a}\,dx\,dy =\frac{\lambda}{a}\int_{0}^{a}x^2\!\!\int_{0}^{x}y\,dy\,dx.
Integrando em y: \int_{0}^{x}y\,dy=\tfrac{x^2}{2}. Então
I_y =\frac{\lambda}{a}\int_{0}^{a}\frac{x^4}{2}\,dx =\frac{\lambda}{a}\cdot\frac{a^5}{10} =\frac{\lambda a^4}{10}.

Passo 5

O momento polar é
I_0=I_x+I_y =\frac{\lambda a^4}{20}+\frac{\lambda a^4}{10} =\frac{3\lambda a^4}{20}.

Resposta

I_x = \dfrac{\lambda a^4}{20}
I_y = \dfrac{\lambda a^4}{10}
I_0 = \dfrac{3\lambda a^4}{20}

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