(2 { }^{\text {a }} Questão - 2,0 pontos)
Determine o valor da integral dupla \iint_{R} x^{2} \sqrt{9-x^{2}} d A, onde R é a região limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=9.
\qquad Bruma Entenes.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R} x^{2}\,\sqrt{9 - x^{2}}\;dA
onde R é o disco de raio 3 centrado na origem, ou seja
R = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.
Para resolver, vamos usar integração dupla em coordenadas cartesianas, descrevendo fatias verticais.

Passo 2

Para um x fixo em \bigl[-3,3\bigr], o y varia de -\sqrt{9 - x^{2}} até \sqrt{9 - x^{2}}. Logo podemos escrever
\iint_{R} x^{2}\sqrt{9 - x^{2}}\;dA =\int_{x=-3}^{3}\!\int_{y=-\sqrt{9 - x^{2}}}^{\sqrt{9 - x^{2}}} x^{2}\sqrt{9 - x^{2}}\;dy\,dx.

Passo 3

Note que \sqrt{9 - x^{2}} não depende de y. Então
\int_{y=-\sqrt{9 - x^{2}}}^{\sqrt{9 - x^{2}}} x^{2}\sqrt{9 - x^{2}}\;dy =x^{2}\sqrt{9 - x^{2}} \Bigl[y\Bigr]_{-\sqrt{9 - x^{2}}}^{\sqrt{9 - x^{2}}} =2\,x^{2}\,\bigl(\sqrt{9 - x^{2}}\bigr)^{2} =2\,x^{2}\,(9 - x^{2}).
Portanto
\iint_{R} x^{2}\sqrt{9 - x^{2}}\;dA =2\int_{-3}^{3}x^{2}(9 - x^{2})\;dx.

Passo 4

A função x^{2}(9 - x^{2}) é par, então
\int_{-3}^{3}x^{2}(9 - x^{2})\;dx =2\int_{0}^{3}x^{2}(9 - x^{2})\;dx.
Assim
\iint_{R} x^{2}\sqrt{9 - x^{2}}\;dA =2\;\times\;2\int_{0}^{3}(9x^{2}-x^{4})\;dx =4\int_{0}^{3}(9x^{2}-x^{4})\;dx.

Passo 5

Calculemos
\int_{0}^{3}(9x^{2}-x^{4})\;dx =\Bigl[3x^{3}-\tfrac{x^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{3} =3\cdot27-\frac{243}{5} =81-\frac{243}{5} =\frac{162}{5}.
Multiplicando por 4 obtemos
4\times\frac{162}{5}=\frac{648}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{648}{5}

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