Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
Informações dadas: a integranda é a função
. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
, mais a constante de integração
.
Passo 2
Observação útil (sem ainda efetuar a conta): muitas integrais ficam fáceis se reconhecermos uma expressão cuja derivada aparece multiplicando a função principal. Aqui a parte
dentro da raiz tem derivada
, que é proporcional ao numerador
. Isso sugere usar uma substituição simples que transforme a raiz numa potência de uma nova variável. Vou usar a substituição que torna a raiz mais direta de integrar.
Passo 3
Faço a substituição
Agora calculo o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
obtém-se
Isolando
(pois isso aparece na integral) temos
Passo 4
Reescrevo a integral original em termos de
. A raiz
vira
e
foi substituído por
. Assim:
Passo 5
Agora integro usando a regra de potências para integrais: se
, então
Aqui
, portanto
. Aplicando:
Passo 6
Volto à variável original
substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
Passo 7
Cheque rápido (verificação): calculando a derivada de
,
que coincide com a integranda. Logo a integração está correta.