Calcule as seguintes integrais
(1.2 \mathrm{pt}) \int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Informações dadas: a integranda é a função x/\sqrt{1+x^{2}}. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}, mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação útil (sem ainda efetuar a conta): muitas integrais ficam fáceis se reconhecermos uma expressão cuja derivada aparece multiplicando a função principal. Aqui a parte 1+x^{2} dentro da raiz tem derivada 2x, que é proporcional ao numerador x. Isso sugere usar uma substituição simples que transforme a raiz numa potência de uma nova variável. Vou usar a substituição que torna a raiz mais direta de integrar.

Passo 3

Faço a substituição
u = 1 + x^{2}.
Agora calculo o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x obtém-se
du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx (pois isso aparece na integral) temos
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Reescrevo a integral original em termos de u. A raiz \sqrt{1+x^{2}} vira \sqrt{u}=u^{1/2} e x\,dx foi substituído por \tfrac{1}{2}du. Assim:
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du.

Passo 5

Agora integro usando a regra de potências para integrais: se n\neq -1, então
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, portanto n+1=\tfrac{1}{2}. Aplicando:
\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2}+C = \frac{1}{2}\cdot 2\,u^{1/2}+C = u^{1/2}+C.

Passo 6

Volto à variável original x substituindo u=1+x^{2}. Assim a primitiva encontrada é
\sqrt{1+x^{2}}+C.

Passo 7

Cheque rápido (verificação): calculando a derivada de F(x)=\sqrt{1+x^{2}},
F'(x)=\frac{1}{2}(1+x^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}},
que coincide com a integranda. Logo a integração está correta.

Resposta

\sqrt{1+x^{2}}+C

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