2 { }^{\text {a }} Questão (2,5 pts): Um dardo é arremessado do alto de uma plataforma em um ângulo de 30^{\circ} com a horizontal, com velocidade escalar inicial de 36 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}. Considerando que a plataforma tem 45 m de altura e desprezando os efeitos da resistência do ar, determine:
(a) tempo de voo do dardo;
(b) os alcances vertical e horizontal máximos;
(c) a velocidade do dardo antes de atingir a superfície, sua magnitude e direção.

Passo 1

O enunciado descreve o lançamento de um dardo a partir de uma plataforma de altura 45,m, com velocidade escalar inicial de 36,km/h num ângulo de 30^\circ acima da horizontal, desprezando resistência do ar. O conteúdo necessário é movimento de projétil em duas dimensões: decompor a velocidade inicial nas componentes horizontal e vertical, usar as equações do MUV vertical e a velocidade constante na horizontal.

Passo 2

Primeiro convertamos a velocidade inicial para m/s e decomponhamos em eixos x (horizontal) e y (vertical):
v_0 = 36\;\mathrm{km/h} = 36\cdot\frac{1000}{3600} = 10\;\mathrm{m/s}.
v_{0x} = v_0\cos 30^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\;\mathrm{m/s}, \quad v_{0y} = v_0\sin 30^\circ = 10\cdot\frac{1}{2} = 5\;\mathrm{m/s}.
Adotamos g = 9{,}8\;\mathrm{m/s^2} apontando para baixo.

Passo 3

Para achar o tempo de voo T, usamos a equação vertical
y(T) = y_0 + v_{0y}T - \tfrac12 g T^2 = 0,
com y_0=45. Fica
45 + 5T - 4{,}9\,T^2 = 0 \;\Longrightarrow\; 4{,}9\,T^2 -5T -45 = 0.
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
T = \frac{5 + \sqrt{5^2 + 4\cdot4{,}9\cdot45}}{2\cdot4{,}9} = \frac{5 + \sqrt{25 + 882}}{9{,}8} = \frac{5 + \sqrt{907}}{9{,}8} \approx 3{,}59\;\mathrm{s}.

Passo 4

O alcance vertical máximo (altura acima do ponto de lançamento) ocorre quando v_y=0 e vale
\Delta y_{\max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{5^2}{2\cdot9{,}8} = \frac{25}{19{,}6} \approx 1{,}28\;\mathrm{m}.

Passo 5

O alcance horizontal (distância total até o impacto) é
x_{\max} = v_{0x}\,T = 5\sqrt{3}\times 3{,}59 \approx 8{,}66\times3{,}59 \approx 31{,}1\;\mathrm{m}.

Passo 6

Antes de atingir a superfície, a componente horizontal de v permanece v_{x}=5\sqrt{3} e a vertical é
v_{y}(T) = v_{0y} - gT = 5 - 9{,}8\cdot3{,}59 \approx 5 - 35{,}18 = -30{,}18\;\mathrm{m/s}.
A magnitude da velocidade é
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + (-30{,}18)^2} \approx \sqrt{75 + 911} \approx 31{,}4\;\mathrm{m/s}.
O ângulo \theta abaixo da horizontal satisfaz
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{|v_y|}{v_x}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{30{,}18}{8{,}66}\bigr) \approx 74^\circ
para baixo.

Resposta

(a) T \approx 3{,}59,s.
(b) \Delta y_{\max}\approx 1{,}28,m e x_{\max}\approx 31{,}1,m.
(c) v\approx 31{,}4,m/s, dirigindo-se a \approx74^\circ abaixo da horizontal.

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