Questão:
A ssinale V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas.
(I) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média 60 kg e desvio padrão 5 kg , pode-se afirmar que menos de
destes indivíduos têm mais que 70 kg . (V)
(II) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média 60 kg e desvio padrão 10 kg, pode-se afirmar que menos de
destes indivíduos têm mais que 70 kg . (F)
(III) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média 60 kg e desvio padrão 10 kg, pode-se afirmar que pelo menos
destes indivíduos têm entre 50 kg e 70 kg. (V)
(IV) Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média se a variável amostral possuir distribuição normal. (F)
(V) Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância se a variável amostral possuir distribuição normal. (V)
(VI) Considerando- se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição normal, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média. (V) (VII) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição normal, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância. (V) (VIII) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição qualquer, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média. (F)
(IX ) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição qualquer, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância. (F) (X ) Imagine que 2 amostras diferentes de uma mesma variável de distribuição normal possuem a mesma média e o mesmo desvio padrão. Se
, o intervalo de confiança da amostra 1 será mais estreito que o da amostra 2. (F)
A ssinale V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas.
(I) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média 60 kg e desvio padrão 5 kg , pode-se afirmar que menos de
(II) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média 60 kg e desvio padrão 10 kg, pode-se afirmar que menos de
(III) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média 60 kg e desvio padrão 10 kg, pode-se afirmar que pelo menos
(IV) Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média se a variável amostral possuir distribuição normal. (F)
(V) Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância se a variável amostral possuir distribuição normal. (V)
(VI) Considerando- se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição normal, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média. (V) (VII) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição normal, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância. (V) (VIII) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição qualquer, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média. (F)
(IX ) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição qualquer, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância. (F) (X ) Imagine que 2 amostras diferentes de uma mesma variável de distribuição normal possuem a mesma média e o mesmo desvio padrão. Se
Passo 1
O enunciado pede que eu assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para cada uma das afirmações (I) a (X). Vou listar cada afirmação exatamente como está para ficar claro o que se avalia:
(I) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média
kg e desvio padrão
kg, pode-se afirmar que menos de
destes indivíduos têm mais que
kg.
(II) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média kg e desvio padrão
kg, pode-se afirmar que menos de
destes indivíduos têm mais que
kg.
(III) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média kg e desvio padrão
kg, pode-se afirmar que pelo menos
destes indivíduos têm entre
kg e
kg.
(IV) Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média se a variável amostral possuir distribuição normal.
(V) Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância se a variável amostral possuir distribuição normal.
(VI) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição normal, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média.
(VII) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição normal, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância.
(VIII) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição qualquer, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média.
(IX) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição qualquer, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância.
(X) Imagine que 2 amostras diferentes de uma mesma variável de distribuição normal possuem a mesma média e o mesmo desvio padrão. Se e
, o intervalo de confiança da amostra 1 será mais estreito que o da amostra 2.
(II) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média
(III) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média
(IV) Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média se a variável amostral possuir distribuição normal.
(V) Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância se a variável amostral possuir distribuição normal.
(VI) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição normal, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média.
(VII) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição normal, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância.
(VIII) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição qualquer, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média.
(IX) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição qualquer, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância.
(X) Imagine que 2 amostras diferentes de uma mesma variável de distribuição normal possuem a mesma média e o mesmo desvio padrão. Se
Agora começo a resolver e justificar cada afirmação passo a passo.
Passo 2
Conceitos e fórmulas úteis (rápida aula antes dos cálculos):
- Para uma variável
normalmente distribuída com média e desvio padrão , a padronização é feita por
onde
tem distribuição normal padrão. Para calcular
transformamos para
.
- Tabelas/valores usuais da normal padrão:
, . Também .
Eu vou usar esses valores para avaliar (I), (II) e (III).
Passo 3
Avaliação da afirmação (I):
Dados: . Calculo o z-score:
Dados:
Logo
A afirmação diz "menos de
". Como
, a afirmação é verdadeira. Explicando: estar a duas vezes o desvio padrão acima da média corresponde a probabilidade cerca de
.
Passo 4
Avaliação da afirmação (II):
Dados: . Calculo o z-score:
Dados:
Logo
A afirmação diz "menos de
". Como
não é menor que
, a afirmação é falsa. Intuição: com desvio padrão maior (
em vez de
), estar
unidades acima da média corresponde a apenas
desvio padrão, cuja cauda é bem maior.
Passo 5
Avaliação da afirmação (III):
Dados: . O intervalo
corresponde a
desvio padrão em relação à média. Em termos de
:
Dados:
A afirmação afirma "pelo menos
". Como
, a afirmação é falsa. Observação didática: um fato frequente é confundir “95%” com “um desvio padrão” — na verdade cerca de
fica aproximadamente em
desvios-padrão (mais precisamente
para normal).
Passo 6
Agora trato das afirmações relacionadas a quando é possível estimar corretamente a significância (nível) do intervalo de confiança para a média e para a variância. Vou explicar os conceitos e depois aplicar aos itens (IV), (V), (VI), (VII), (VIII) e (IX).
Breve aula:
- Intervalo de confiança para a média: se a população é normal e a variância populacional é desconhecida, usamos a distribuição
com graus de liberdade; se a variância é conhecida e população normal, usamos . Para amostras grandes (regra prática: suficientemente grande), o Teorema Central do Limite (TCL) diz que a média amostral é aproximadamente normal mesmo que a população não seja — isso permite construir ICs aproximados sem exigir normalidade da população. Portanto não é verdade que “em qualquer situação” precisa-se de normalidade; depende do tamanho da amostra. - Intervalo de confiança para a variância: a construção clássica usa a distribuição qui-quadrado (
) e essa derivação exige que a população seja normal. O TCL não garante que a estatística baseada em variância tenha distribuição quando a população não é normal; portanto a normalidade é um requisito importante aqui para obter o nível de significância correto.
Passo 7
Aplicando aos itens:
(IV) “Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média se a variável amostral possuir distribuição normal.”
Explicação: Isso é falso porque para amostras grandes o TCL permite estimar corretamente (aproximadamente) a significância do IC para a média mesmo sem normalidade. Logo (IV) é falsa.
Explicação: Isso é falso porque para amostras grandes o TCL permite estimar corretamente (aproximadamente) a significância do IC para a média mesmo sem normalidade. Logo (IV) é falsa.
(V) “Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância se a variável amostral possuir distribuição normal.”
Explicação: Para o IC da variância usamos a estatística baseada em e essa fórmula exige normalidade da população para que a distribuição seja exata. Não há um análogo simples do TCL que nos dê uma distribuição
aproximada para variância em amostras pequenas — portanto a normalidade é requisito. A afirmação diz “somente é possível” em qualquer situação — isso é verdadeiro no sentido clássico: para garantir que o nível seja o que esperamos (exato), precisamos que a variável seja normal. Assim (V) é verdadeira.
Explicação: Para o IC da variância usamos a estatística baseada em
(VI) “Amostra com
dados de população normal: é possível estimar corretamente a significância do IC para a média.”
Explicação: Se a população é normal e , usamos a distribuição
com
graus de liberdade; isso fornece um IC com o nível exato (desde que a suposição de normalidade seja verdadeira). Logo (VI) é verdadeira.
Explicação: Se a população é normal e
(VII) “Amostra com
dados de população normal: é possível estimar corretamente a significância do IC para a variância.”
Explicação: Com normalidade e podemos usar a distribuição
com
graus de liberdade para construir o IC da variância; assim o nível é exato. Logo (VII) é verdadeira.
Explicação: Com normalidade e
(VIII) “Amostra com
dados de população qualquer: é possível estimar corretamente a significância do IC para a média.”
Explicação: Com pequeno e sem assumir normalidade da população, não podemos garantir que a distribuição da média amostral seja aproximadamente normal; portanto não se pode garantir o nível correto do IC. Logo (VIII) é falsa.
Explicação: Com
(IX) “Amostra com
dados de população qualquer: é possível estimar corretamente a significância do IC para a variância.”
Explicação: Como o IC da variância em teoria clássica requer normalidade, e aqui a população tem “distribuição qualquer”, não se pode garantir o nível correto. Logo (IX) é falsa.
Explicação: Como o IC da variância em teoria clássica requer normalidade, e aqui a população tem “distribuição qualquer”, não se pode garantir o nível correto. Logo (IX) é falsa.
Passo 8
Avaliação do item (X) com contas:
Situação: duas amostras da mesma variável normal, mesmas média e mesmo desvio padrão amostral , tamanhos
e
. Comparar a largura (ou “estreiteza”) dos intervalos de confiança para a média para o mesmo nível de confiança (pressuposto implícito: mesmo nível, por exemplo
). A metade da largura do IC para a média (quando
desconhecida) é
Situação: duas amostras da mesma variável normal, mesmas média e mesmo desvio padrão amostral
Como
é igual nas duas amostras, o que importa é comparar
Para um nível usual
temos (valores tabelados aproximados):
Calculo as meias-larguras relativas (sem o
, pois é comum):
Como
, a meialargura (e portanto a largura) do IC da amostra 1 é maior — ou seja, o IC da amostra 1 é mais largo, não mais estreito. A afirmação que diz “o intervalo da amostra 1 será mais estreito que o da amostra 2” é falsa. Intuição: amostra maior dá IC mais estreito; amostra pequena tem
maior e
menor, resultando em IC bem mais largo.
Passo 9
Recapitulando cada item com a conclusão de verdade/falsidade justificada:
(I) Verdadeira (usei e
).
(II) Falsa (usei e
).
(III) Falsa (intervalo cobre
, não
).
(IV) Falsa (TCL permite, para amostras grandes, estimar sem normalidade).
(V) Verdadeira (IC para variância usa , requer normalidade para nível exato).
(VI) Verdadeira (com população normal e podemos usar
-IC exato).
(VII) Verdadeira (com população normal e podemos usar
-IC exato para variância).
(VIII) Falsa (com e população arbitrária não se garante nível correto para média).
(IX) Falsa (para variância, sem normalidade não se garante nível correto).
(X) Falsa (comparação numérica mostra IC da amostra 1 é mais largo; logo não é mais estreito).
(I) Verdadeira (usei
(II) Falsa (usei
(III) Falsa (intervalo
(IV) Falsa (TCL permite, para amostras grandes, estimar sem normalidade).
(V) Verdadeira (IC para variância usa
(VI) Verdadeira (com população normal e
(VII) Verdadeira (com população normal e
(VIII) Falsa (com
(IX) Falsa (para variância, sem normalidade não se garante nível correto).
(X) Falsa (comparação numérica mostra IC da amostra 1 é mais largo; logo não é mais estreito).
Resposta
(I) V
(II) F
(III) F
(IV) F
(V) V
(VI) V
(VII) V
(VIII) F
(IX) F
(X) F
(II) F
(III) F
(IV) F
(V) V
(VI) V
(VII) V
(VIII) F
(IX) F
(X) F