1{ }^{\text {a }} Questão:
A ssinale V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas.
(I) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média 60 kg e desvio padrão 5 kg , pode-se afirmar que menos de 3 \% destes indivíduos têm mais que 70 kg . (V)
(II) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média 60 kg e desvio padrão 10 kg, pode-se afirmar que menos de 2 \% destes indivíduos têm mais que 70 kg . (F)
(III) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média 60 kg e desvio padrão 10 kg, pode-se afirmar que pelo menos 95 \% destes indivíduos têm entre 50 kg e 70 kg. (V)
(IV) Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média se a variável amostral possuir distribuição normal. (F)
(V) Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância se a variável amostral possuir distribuição normal. (V)
(VI) Considerando- se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição normal, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média. (V) (VII) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição normal, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância. (V) (VIII) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição qualquer, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média. (F)
(IX ) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição qualquer, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância. (F) (X ) Imagine que 2 amostras diferentes de uma mesma variável de distribuição normal possuem a mesma média e o mesmo desvio padrão. Se \mathrm{n}_{1}=6 \mathrm{e} \mathrm{n}_{2}=21, o intervalo de confiança da amostra 1 será mais estreito que o da amostra 2. (F)

Passo 1

O enunciado pede que eu assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para cada uma das afirmações (I) a (X). Vou listar cada afirmação exatamente como está para ficar claro o que se avalia:
(I) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média \,60 kg e desvio padrão \,5 kg, pode-se afirmar que menos de 3\% destes indivíduos têm mais que \,70 kg.
(II) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média \,60 kg e desvio padrão \,10 kg, pode-se afirmar que menos de 2\% destes indivíduos têm mais que \,70 kg.
(III) Se a massa dos indivíduos adultos de uma nação apresentar distribuição normal, média \,60 kg e desvio padrão \,10 kg, pode-se afirmar que pelo menos 95\% destes indivíduos têm entre \,50 kg e \,70 kg.
(IV) Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média se a variável amostral possuir distribuição normal.
(V) Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância se a variável amostral possuir distribuição normal.
(VI) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição normal, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média.
(VII) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição normal, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância.
(VIII) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição qualquer, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média.
(IX) Considerando-se uma amostra com 6 dados de uma população com distribuição qualquer, é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância.
(X) Imagine que 2 amostras diferentes de uma mesma variável de distribuição normal possuem a mesma média e o mesmo desvio padrão. Se \,n_1=6 e \,n_2=21, o intervalo de confiança da amostra 1 será mais estreito que o da amostra 2.
Agora começo a resolver e justificar cada afirmação passo a passo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (rápida aula antes dos cálculos):
  • Para uma variável X normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão \sigma, a padronização é feita por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z tem distribuição normal padrão. Para calcular \mathbb{P}(X>a) transformamos para \mathbb{P}\big(Z>\frac{a-\mu}{\sigma}\big).
  • Tabelas/valores usuais da normal padrão: \mathbb{P}(Z>1)\approx 0{,}1587, \mathbb{P}(Z>2)\approx 0{,}0228. Também \mathbb{P}(-1\le Z\le 1)\approx 0{,}6826.
    Eu vou usar esses valores para avaliar (I), (II) e (III).

Passo 3

Avaliação da afirmação (I):
Dados: \mu=60,\\ \sigma=5,\\ a=70. Calculo o z-score:
z=\frac{70-60}{5}=\frac{10}{5}=2.
Logo
\mathbb{P}(X>70)=\mathbb{P}(Z>2)\approx 0{,}0228=2{,}28\%.
A afirmação diz "menos de 3\%". Como 2{,}28\%<3\%, a afirmação é verdadeira. Explicando: estar a duas vezes o desvio padrão acima da média corresponde a probabilidade cerca de 2{,}3\%.

Passo 4

Avaliação da afirmação (II):
Dados: \mu=60,\\ \sigma=10,\\ a=70. Calculo o z-score:
z=\frac{70-60}{10}=1.
Logo
\mathbb{P}(X>70)=\mathbb{P}(Z>1)\approx 0{,}1587=15{,}87\%.
A afirmação diz "menos de 2\%". Como 15{,}87\% não é menor que 2\%, a afirmação é falsa. Intuição: com desvio padrão maior ( 10 em vez de 5), estar 10 unidades acima da média corresponde a apenas 1 desvio padrão, cuja cauda é bem maior.

Passo 5

Avaliação da afirmação (III):
Dados: \mu=60,\\ \sigma=10. O intervalo [50,70] corresponde a \pm 1 desvio padrão em relação à média. Em termos de Z:
\mathbb{P}(50\le X\le 70)=\mathbb{P}(-1\le Z\le 1)\approx 0{,}6826=68{,}26\%.
A afirmação afirma "pelo menos 95\%". Como 68{,}26\%<95\%, a afirmação é falsa. Observação didática: um fato frequente é confundir “95%” com “um desvio padrão” — na verdade cerca de 95\% fica aproximadamente em \pm 2 desvios-padrão (mais precisamente 1{,}96 para normal).

Passo 6

Agora trato das afirmações relacionadas a quando é possível estimar corretamente a significância (nível) do intervalo de confiança para a média e para a variância. Vou explicar os conceitos e depois aplicar aos itens (IV), (V), (VI), (VII), (VIII) e (IX).
Breve aula:
  • Intervalo de confiança para a média: se a população é normal e a variância populacional é desconhecida, usamos a distribuição t com n-1 graus de liberdade; se a variância é conhecida e população normal, usamos z. Para amostras grandes (regra prática: n suficientemente grande), o Teorema Central do Limite (TCL) diz que a média amostral é aproximadamente normal mesmo que a população não seja — isso permite construir ICs aproximados sem exigir normalidade da população. Portanto não é verdade que “em qualquer situação” precisa-se de normalidade; depende do tamanho da amostra.
  • Intervalo de confiança para a variância: a construção clássica usa a distribuição qui-quadrado ( \chi^2) e essa derivação exige que a população seja normal. O TCL não garante que a estatística baseada em variância tenha distribuição \chi^2 quando a população não é normal; portanto a normalidade é um requisito importante aqui para obter o nível de significância correto.

Passo 7

Aplicando aos itens:
(IV) “Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a média se a variável amostral possuir distribuição normal.”
Explicação: Isso é falso porque para amostras grandes o TCL permite estimar corretamente (aproximadamente) a significância do IC para a média mesmo sem normalidade. Logo (IV) é falsa.
(V) “Em qualquer situação, somente é possível estimar corretamente a significância do intervalo de confiança para a variância se a variável amostral possuir distribuição normal.”
Explicação: Para o IC da variância usamos a estatística baseada em \chi^2 e essa fórmula exige normalidade da população para que a distribuição seja exata. Não há um análogo simples do TCL que nos dê uma distribuição \chi^2 aproximada para variância em amostras pequenas — portanto a normalidade é requisito. A afirmação diz “somente é possível” em qualquer situação — isso é verdadeiro no sentido clássico: para garantir que o nível seja o que esperamos (exato), precisamos que a variável seja normal. Assim (V) é verdadeira.
(VI) “Amostra com 6 dados de população normal: é possível estimar corretamente a significância do IC para a média.”
Explicação: Se a população é normal e n=6, usamos a distribuição t com n-1=5 graus de liberdade; isso fornece um IC com o nível exato (desde que a suposição de normalidade seja verdadeira). Logo (VI) é verdadeira.
(VII) “Amostra com 6 dados de população normal: é possível estimar corretamente a significância do IC para a variância.”
Explicação: Com normalidade e n=6 podemos usar a distribuição \chi^2 com n-1=5 graus de liberdade para construir o IC da variância; assim o nível é exato. Logo (VII) é verdadeira.
(VIII) “Amostra com 6 dados de população qualquer: é possível estimar corretamente a significância do IC para a média.”
Explicação: Com n=6 pequeno e sem assumir normalidade da população, não podemos garantir que a distribuição da média amostral seja aproximadamente normal; portanto não se pode garantir o nível correto do IC. Logo (VIII) é falsa.
(IX) “Amostra com 6 dados de população qualquer: é possível estimar corretamente a significância do IC para a variância.”
Explicação: Como o IC da variância em teoria clássica requer normalidade, e aqui a população tem “distribuição qualquer”, não se pode garantir o nível correto. Logo (IX) é falsa.

Passo 8

Avaliação do item (X) com contas:
Situação: duas amostras da mesma variável normal, mesmas média e mesmo desvio padrão amostral s, tamanhos \,n_1=6 e \,n_2=21. Comparar a largura (ou “estreiteza”) dos intervalos de confiança para a média para o mesmo nível de confiança (pressuposto implícito: mesmo nível, por exemplo 95\%). A metade da largura do IC para a média (quando \sigma desconhecida) é
\text{meia-largura} = t_{\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Como s é igual nas duas amostras, o que importa é comparar
\frac{t_{\alpha/2,\;n_1-1}}{\sqrt{n_1}} \quad\text{versus}\quad \frac{t_{\alpha/2,\;n_2-1}}{\sqrt{n_2}}.
Para um nível usual 95\% temos (valores tabelados aproximados):
t_{0{,}025,\;5}\approx 2{,}571,\qquad t_{0{,}025,\;20}\approx 2{,}086.
Calculo as meias-larguras relativas (sem o s, pois é comum):
\text{fator}_1=\frac{2{,}571}{\sqrt{6}}\approx\frac{2{,}571}{2{,}449}\approx 1{,}050,
\text{fator}_2=\frac{2{,}086}{\sqrt{21}}\approx\frac{2{,}086}{4{,}583}\approx 0{,}455.
Como \text{fator}_1>\text{fator}_2, a meialargura (e portanto a largura) do IC da amostra 1 é maior — ou seja, o IC da amostra 1 é mais largo, não mais estreito. A afirmação que diz “o intervalo da amostra 1 será mais estreito que o da amostra 2” é falsa. Intuição: amostra maior dá IC mais estreito; amostra pequena tem t maior e \sqrt{n} menor, resultando em IC bem mais largo.

Passo 9

Recapitulando cada item com a conclusão de verdade/falsidade justificada:
(I) Verdadeira (usei z=2 e \mathbb{P}(Z>2)\approx 2{,}28\%).
(II) Falsa (usei z=1 e \mathbb{P}(Z>1)\approx 15{,}87\%).
(III) Falsa (intervalo \pm1\sigma cobre \approx 68{,}26\%, não 95\%).
(IV) Falsa (TCL permite, para amostras grandes, estimar sem normalidade).
(V) Verdadeira (IC para variância usa \chi^2, requer normalidade para nível exato).
(VI) Verdadeira (com população normal e n=6 podemos usar t-IC exato).
(VII) Verdadeira (com população normal e n=6 podemos usar \chi^2-IC exato para variância).
(VIII) Falsa (com n=6 e população arbitrária não se garante nível correto para média).
(IX) Falsa (para variância, sem normalidade não se garante nível correto).
(X) Falsa (comparação numérica mostra IC da amostra 1 é mais largo; logo não é mais estreito).

Resposta

(I) V
(II) F
(III) F
(IV) F
(V) V
(VI) V
(VII) V
(VIII) F
(IX) F
(X) F

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