{ }^{\text {a }} Questăo.
trocando a ordem de integraçio.
Calcule a integral
\int_{0}^{1}\left(\int_{x}^{1} e^{x / y} d y\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\left(\int_{x}^{1} e^{x / y}\, dy\right) dx.
Informações dadas:
\text{integrando: } e^{x/y},
\text{limites externos: } x \text{ varia de } 0 \text{ a } 1,
\text{para cada } x,\; \text{limites internos: } y \text{ varia de } x \text{ a } 1.
A tarefa é avaliar esse número real.

Passo 2

Interpretemos a região de integração no plano (x,y). O par (x,y) varia com
0 \le x \le 1,\qquad x \le y \le 1.
Em palavras: é o triângulo (incluído) acima da reta y=x dentro do quadrado [0,1]\times[0,1]. Para trocar a ordem de integração precisamos descrever a mesma região com y primeiro: para cada y fixo (com 0<y\le 1), x varia de 0 até y. Assim a região pode ser escrita como
0 \le y \le 1,\qquad 0 \le x \le y.
Observação técnica: o caso y=0 só permite x=0 (ponto de medida zero), então não altera o valor da integral; para os cálculos a seguir consideramos y>0 quando necessário (para evitar divisão por zero).

Passo 3

Trocando a ordem de integração conforme a descrição da região, reescrevemos a integral como
\int_{0}^{1}\left(\int_{x}^{1} e^{x / y}\, dy\right) dx = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{y} e^{x / y}\, dx\right) dy.
Aqui a integração interna é em x (para um y fixo).

Passo 4

Calculemos a integral interna \displaystyle \int_{0}^{y} e^{x / y}\, dx para um y>0 fixo. Façamos a substituição conveniente
u=\frac{x}{y}\quad\Rightarrow\quad dx=y\, du.
Quando x=0 temos u=0; quando x=y temos u=1. Portanto
\int_{0}^{y} e^{x / y}\, dx = \int_{0}^{1} e^{u}\, y\, du = y\int_{0}^{1} e^{u}\, du.

Passo 5

Avalie \displaystyle \int_{0}^{1} e^{u}\, du. É uma primitiva direta: \int e^{u}\, du = e^{u}. Então
\int_{0}^{1} e^{u}\, du = e^{1}-e^{0} = e-1.
Substituindo em

Passo 6

\int_{0}^{y} e^{x / y}\, dx = y(e-1).

Passo 7

Agora volte à integral externa em y:
\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{y} e^{x / y}\, dx\right) dy = \int_{0}^{1} y(e-1)\, dy.
Como (e-1) é constante, isso é
(e-1)\int_{0}^{1} y\, dy.
Calcule \displaystyle \int_{0}^{1} y\, dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.

Passo 8

Portanto o valor da integral é
(e-1)\cdot\frac{1}{2} = \frac{e-1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{e-1}{2}

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