Questăo.
trocando a ordem de integraçio.
Calcule a integral
trocando a ordem de integraçio.
Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
A tarefa é avaliar esse número real.
Passo 2
Interpretemos a região de integração no plano
. O par
varia com
Em palavras: é o triângulo (incluído) acima da reta
dentro do quadrado
. Para trocar a ordem de integração precisamos descrever a mesma região com
primeiro: para cada
fixo (com
),
varia de
até
. Assim a região pode ser escrita como
Observação técnica: o caso
só permite
(ponto de medida zero), então não altera o valor da integral; para os cálculos a seguir consideramos
quando necessário (para evitar divisão por zero).
Passo 3
Trocando a ordem de integração conforme a descrição da região, reescrevemos a integral como
Aqui a integração interna é em
(para um
fixo).
Passo 4
Calculemos a integral interna
para um
fixo. Façamos a substituição conveniente
Quando
temos
; quando
temos
. Portanto
Passo 5
Avalie
. É uma primitiva direta:
. Então
Substituindo em
Passo 6
Passo 7
Agora volte à integral externa em
:
Como
é constante, isso é
Calcule
Passo 8
Portanto o valor da integral é