Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.
Passo 1
O enunciado pede: determinar, por argumentos geométricos, as soluções da equação a derivadas parciais
Informações dadas: a equação relaciona as derivadas parciais de uma função
. O objetivo é encontrar a forma geral de
(ou seja, todas as funções
suficientemente suaves que satisfazem essa identidade). Não há condições de contorno ou valores iniciais; queremos a solução geral.
Passo 2
Interpretação geométrica usando derivada direcional. Para um vetor
, a derivada direcional de
na direção de
é
Na nossa equação, podemos escrever
como
ou seja,
Significado geométrico: a derivada direcional de
na direção
é zero, portanto
não varia quando nos movemos ao longo das curvas cuja tangente é
. Em outras palavras:
é constante ao longo das trajetórias integrais do campo de vetores
.
Passo 3
Encontrar as trajetórias integrais (as curvas cujas tangentes são
). São dadas pelo sistema de equações diferenciais ordinárias
Resolvendo essas ODEs simples:
onde
são constantes de integração. Eliminando
, somamos as duas expressões:
Logo, as trajetórias integrais são as retas no plano
descritas por
Passo 4
Conclusão geométrica: como
,
é constante ao longo de cada reta
constante. Isso significa que o valor de
em um ponto
depende apenas do valor da combinação invariante
. Portanto existe uma função de uma variável
tal que
Aqui
é arbitrária (desde que seja diferenciável quando precisarmos das derivadas parciais).
Passo 5
Verificação algébrica (pra você não ficar inseguro): suponha
com
diferenciável. Pela regra da cadeia temos
Subtraindo,
logo todas as funções da forma
satisfazem a equação. Assim esta é a solução geral.
Passo 6
Outra interpretação geométrica equivalente (curta): a equação pode ser escrita como
ou seja, o gradiente
é ortogonal ao vetor
. Como o gradiente é normal às curvas de nível de
, isso diz que as curvas de nível têm direção
— por isso são as retas
constante — e
é função destas retas por sua constante
.
Passo 7
Exemplos concretos (pra fixar e te dar confiança na prova):
-
(constante) corresponde a . -
corresponde a . -
corresponde a .
Todos satisfazem, conforme verificado pelo passo 5.