Seja y=g(x) definida e derivável no intervalo aberto I, dada implicitamente pela equação f(x, y)=0, onde f(x, y) é suposta diferenciável no aberto A \subset \mathbb{R}^{2}. Suponha \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)>0 em A.
a) Com argumentos geométricos, mostre que é razoável esperar que g seja estritamente decrescente em I.
b) Prove que g é estritamente decrescente em I.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
Informações dadas:
y=g(x) está definida e é diferenciável em um intervalo aberto I.
y=g(x) satisfaz a equação implícita \,f(x,y)=0\, para todos x\in I.
A função f(x,y) é diferenciável num aberto A\subset\mathbb{R}^2 que contém a curva \{(x,g(x)):x\in I\}.
Em A vale a desigualdade \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\cdot\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)>0.
O que o enunciado pede:
a) Dar um argumento geométrico que justifique ser razoável esperar que g seja estritamente decrescente em I.
b) Provar rigorosamente que g é estritamente decrescente em I.
Observação importante (retirada dos dados): como \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial f}{\partial y}>0 em A, ambos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} são sempre não nulos em A e têm o mesmo sinal.
Passo 2
Explicação geométrica (intuição): o papel do gradiente e das curvas de nível.
Para qualquer função diferenciável f(x,y) sabemos que o vetor gradiente está dado por
Esse vetor é sempre perpendicular (normal) às curvas de nível de f, ou seja, às curvas \{(x,y):f(x,y)=\text{constante}\}. No nosso caso interessa a curva de nível f(x,y)=0, que é exatamente o gráfico implícito \{(x,g(x))\}.
O vetor tangente à curva f(x,y)=0 em um ponto (x,y) é, portanto, perpendicular ao gradiente. Se representarmos o vetor tangente por (1,\,y') (tomando como parâmetro a abscissa x), a condição de perpendicularidade com o gradiente dá a relação
(Isto já antecipa o cálculo; mais formalizaremos depois.)
Agora, por hipótese \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) têm o mesmo sinal. Logo a razão \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}/\frac{\partial f}{\partial y} é positiva, e o sinal negativo na fórmula do declive indica que y'<0. Geometricamente: se o gradiente aponta para o primeiro quadrante (ambas componentes positivas) ou para o terceiro quadrante (ambas negativas), a reta normal tem esse sentido e a tangente terá inclinação negativa. Assim faz sentido esperar que a curva de nível f=0 desça quando x cresce — ou seja, g seja decrescente.
Passo 3
Lembrete sobre diferenciação implícita (fórmula e justificativa).
Temos a igualdade verdadeira para todo x\in I:
f\big(x,g(x)\big)=0.
Como f é diferenciável e g é diferenciável, podemos derivar ambos os lados em relação a x aplicando a regra da cadeia. Vou explicar essa regra de cadeia aqui: se F(x)=f(x,g(x)), então variações pequenas em x geram variações em f por duas vias: a variação direta em x e a variação via y=g(x). Matematicamente,
Verificação das hipóteses que permitem usar a fórmula e interpretação do sinal.
Para usar a fórmula acima precisamos que \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,g(x))\neq 0 para todo x\in I. Mas a hipótese \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial f}{\partial y}>0 implica que nenhum dos fatores é zero em A. Como a curva (x,g(x)) está dentro de A, segue que \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,g(x))\neq 0 para todo x\in I. Portanto a fórmula do passo anterior é válida para todo x\in I.
Isto significa que \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,g(x)) e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,g(x)) têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Em particular a razão
g'(x)=-\underbrace{\frac{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,g(x))}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,g(x))}}_{>0}<0\quad\text{para todo }x\in I.
Ou seja, g'(x) é estritamente negativo em cada ponto de I.
Passo 5
Conclusão sobre monotonicidade e observações finais.
Como g é diferenciável em I e \,g'(x)<0 para todo x\in I, pelo teste da derivada segue que g é estritamente decrescente em I. (Explicando o teste: se a derivada de uma função é negativa em todo o intervalo, a função diminui quando x aumenta — isso vem da definição de derivada como taxa de variação instantânea.)
Comentário intuitivo final: geometricamente a condição \displaystyle f_x f_y>0 força a tangente à curva f=0 a ter inclinação negativa em todos os pontos da curva dentro de A, e portanto a função implícita y=g(x) cai quando x cresce.
Resposta
(a) A condição \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial f}{\partial y}>0 implica que o gradiente \nabla f tem componentes com o mesmo sinal, logo a tangente à curva f=0 tem inclinação negativa; assim é razoável esperar que g seja estritamente decrescente em I.\n(b) Diferenciando f(x,g(x))=0 obtemos g'(x)=-\dfrac{f_x(x,g(x))}{f_y(x,g(x))}. Como f_x f_y>0 em A, a razão f_x/f_y é positiva, logo g'(x)<0 para todo x\in I. Portanto g é estritamente decrescente em I.