Questão (Valor: 2,5 pontos) - Responda às questões abaixo apresentadas:
Qual deve ser a velocidade de escape de uma nave partindo de Marte em direção à Terra? Dados:
Marte
.
Qual deve ser a velocidade de escape de uma nave partindo de Marte em direção à Terra? Dados:
Passo 1
O enunciado pergunta qual deve ser a velocidade de escape de uma nave partindo de Marte em direção à Terra. Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
- Massa da Terra:
. - Massa de Marte:
. - Raio da Terra:
. - Raio de Marte:
. - Distância entre centros Terra–Marte:
O enunciado não especifica detalhes dinâmicos (órbitas relativas, velocidade orbital, perdas, resistência do meio, etc.). Vou interpretar a pergunta da forma clássica e didática que costuma aparecer em provas: calcular a velocidade mínima que, partida da superfície de Marte, permite que a nave chegue (com velocidade nula) à distância do centro de Marte igual à separação entre os centros das duas placas, isto é, alcançar a distância
(ou seja, “escapar” do poço gravitacional de Marte até a distância da Terra), desconsiderando a atração gravitacional da Terra durante a subida (ou seja, considerando apenas o poço gravitacional de Marte até a distância dada). Essa interpretação simplifica e dá uma única resposta numérica, prática para prova. Vou explicar e aplicar conservação de energia sob essa hipótese.
Passo 2
Conceito físico que vou usar (aula rápida e direta):
- A energia potencial gravitacional de uma massa unitária (por unidade de massa) criada por um corpo de massa
a uma distância do seu centro é , onde é a constante gravitacional universal ( ). - Conservação de energia mecânica (sem atrito, sem empuxos intermediários): a energia cinética por unidade de massa inicial mais a energia potencial inicial deve ser igual à energia potencial final (se exigimos que a velocidade final seja zero).
- Portanto, se queremos que a nave saia da superfície de Marte (raio
) e chegue, com velocidade nula, a uma distância do centro de Marte, basta satisfazer:
- Rearranjando, a velocidade mínima inicial (por unidade de massa) é dada por
- No nosso caso assumimos
. Isso significa que estamos calculando a velocidade necessária para a nave “subir” do poço gravitacional de Marte até a distância onde está a Terra (ignorando a atração da Terra durante a subida).
Comentário sobre a escolha do método: usei conservação de energia porque é a forma mais direta de obter uma velocidade mínima (escape) quando lidamos com poços gravitacionais e queremos chegar a uma dada distância com velocidade nula. Métodos alternativos (integrar força para trabalho) dão a mesma fórmula, mas a conservação de energia é mais curta e robusta para provas.
Passo 3
Escrevendo a fórmula para o caso específico e isolando
:
Logo
Aqui:
-
é a velocidade inicial na superfície de Marte (unidade: ). -
é a constante gravitacional ( ). -
e os raios são os dados do enunciado.
Passo 4
Substituindo os números (mostrando as contas passo a passo):
- Primeiro calcule a diferença de inversos de raios:
Cálculo aproximado:
Portanto
- Agora calcule
multiplicado por essa diferença:
Multiplicando pela diferença:
- Finalmente:
Passo 5
Interpretação e arredondamento: o valor obtido é cerca de
, ou seja, aproximadamente
. Isso é menor do que a velocidade de escape “para o infinito” do próprio Marte (porque aqui pedimos escape até uma distância finita e grande, não até o infinito) e também porque a atração gravitacional da Terra, se considerada, tenderia a reduzir ainda mais a velocidade inicial necessária (ou mesmo permitir que uma velocidade inicial muito baixa seja suficiente), mas esse efeito não foi incluído na hipótese adotada.
Pequenas observações práticas (úteis para a prova):
- Se a intenção fosse calcular a velocidade para escapar para o infinito, substituir-se-ia
por e a fórmula reduziria para . - Se se quisesse incluir a atração da Terra (energia potencial da Terra ao longo do trajeto), o cálculo mudaria e pode até resultar numa velocidade inicial menor (porque a Terra “puxa” a nave, dando energia negativa à energia potencial total), mas isso requer considerar as posições relativas iniciais (lado de Marte voltado à Terra ou oposto) e seria outro enunciado.