1^{\text {a }} Questão (Valor: 2,5 pontos) - Responda às questões abaixo apresentadas:
Qual deve ser a velocidade de escape de uma nave partindo de Marte em direção à Terra? Dados: \mathrm{M}_{\text {Terra }}=5,98 \times 10^{24} \mathrm{~kg} ; \mathrm{M}_{\text {Marte }}=6,40 \times 10^{23} \mathrm{~kg} ; \mathrm{R}_{\text {Terra }}=6,4 \times 10^{6} \mathrm{~m} ; \mathrm{R}_{\text {Marte }}=3,395 \times 10^{6} \mathrm{~m} ; \mathrm{R}_{\text {Terra- }} Marte =228,0 \times 10^{9} \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pergunta qual deve ser a velocidade de escape de uma nave partindo de Marte em direção à Terra. Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Massa da Terra: M_{\text{Terra}} = 5,98\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
  • Massa de Marte: M_{\text{Marte}} = 6,40\times10^{23}\\ \mathrm{kg}.
  • Raio da Terra: R_{\text{Terra}} = 6,4\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Raio de Marte: R_{\text{Marte}} = 3,395\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Distância entre centros Terra–Marte: R_{\text{Terra--Marte}} = 228{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{m} = 2{,}28\times10^{11}\\ \mathrm{m}.
O enunciado não especifica detalhes dinâmicos (órbitas relativas, velocidade orbital, perdas, resistência do meio, etc.). Vou interpretar a pergunta da forma clássica e didática que costuma aparecer em provas: calcular a velocidade mínima que, partida da superfície de Marte, permite que a nave chegue (com velocidade nula) à distância do centro de Marte igual à separação entre os centros das duas placas, isto é, alcançar a distância R_{\text{Terra--Marte}} (ou seja, “escapar” do poço gravitacional de Marte até a distância da Terra), desconsiderando a atração gravitacional da Terra durante a subida (ou seja, considerando apenas o poço gravitacional de Marte até a distância dada). Essa interpretação simplifica e dá uma única resposta numérica, prática para prova. Vou explicar e aplicar conservação de energia sob essa hipótese.

Passo 2

Conceito físico que vou usar (aula rápida e direta):
  • A energia potencial gravitacional de uma massa unitária (por unidade de massa) criada por um corpo de massa M a uma distância r do seu centro é -\dfrac{G\,M}{r}, onde G é a constante gravitacional universal ( G\approx6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-1}}).
  • Conservação de energia mecânica (sem atrito, sem empuxos intermediários): a energia cinética por unidade de massa inicial mais a energia potencial inicial deve ser igual à energia potencial final (se exigimos que a velocidade final seja zero).
  • Portanto, se queremos que a nave saia da superfície de Marte (raio R_{\text{Marte}}) e chegue, com velocidade nula, a uma distância r_{\text{f}} do centro de Marte, basta satisfazer:
\frac{1}{2}v^2 - \frac{G M_{\text{Marte}}}{R_{\text{Marte}}} = - \frac{G M_{\text{Marte}}}{r_{\text{f}}}.
  • Rearranjando, a velocidade mínima inicial (por unidade de massa) é dada por
\frac{1}{2}v^2 = G M_{\text{Marte}}\!\left(\frac{1}{R_{\text{Marte}}}-\frac{1}{r_{\text{f}}}\right).
  • No nosso caso assumimos r_{\text{f}} = R_{\text{Terra--Marte}} = 2{,}28\times10^{11}\\ \mathrm{m}. Isso significa que estamos calculando a velocidade necessária para a nave “subir” do poço gravitacional de Marte até a distância onde está a Terra (ignorando a atração da Terra durante a subida).
Comentário sobre a escolha do método: usei conservação de energia porque é a forma mais direta de obter uma velocidade mínima (escape) quando lidamos com poços gravitacionais e queremos chegar a uma dada distância com velocidade nula. Métodos alternativos (integrar força para trabalho) dão a mesma fórmula, mas a conservação de energia é mais curta e robusta para provas.

Passo 3

Escrevendo a fórmula para o caso específico e isolando v:
\frac{1}{2}v^2 = G M_{\text{Marte}}\!\left(\frac{1}{R_{\text{Marte}}}-\frac{1}{R_{\text{Terra--Marte}}}\right).
Logo
v = \sqrt{2 G M_{\text{Marte}}\!\left(\frac{1}{R_{\text{Marte}}}-\frac{1}{R_{\text{Terra--Marte}}}\right)}.
Aqui:
  • v é a velocidade inicial na superfície de Marte (unidade: \mathrm{m/s}).
  • G é a constante gravitacional ( 6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-1}}).
  • M_{\text{Marte}} e os raios são os dados do enunciado.

Passo 4

Substituindo os números (mostrando as contas passo a passo):
  • Primeiro calcule a diferença de inversos de raios:
\frac{1}{R_{\text{Marte}}}-\frac{1}{R_{\text{Terra--Marte}}} = \frac{1}{3{,}395\times10^{6}}-\frac{1}{2{,}28\times10^{11}}.
Cálculo aproximado:
\frac{1}{R_{\text{Marte}}}\approx 2{,}9456\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{-1}}, \qquad \frac{1}{R_{\text{Terra--Marte}}}\approx 4{,}3860\times10^{-12}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Portanto
\frac{1}{R_{\text{Marte}}}-\frac{1}{R_{\text{Terra--Marte}}} \approx 2{,}9455\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Agora calcule 2 G M_{\text{Marte}} multiplicado por essa diferença:
2 G M_{\text{Marte}} = 2\times(6{,}674\times10^{-11})\times(6{,}40\times10^{23}) \approx 2\times 4{,}27136\times10^{13} = 8{,}54272\times10^{13}.
Multiplicando pela diferença:
2 G M_{\text{Marte}}\!\left(\frac{1}{R_{\text{Marte}}}-\frac{1}{R_{\text{Terra--Marte}}}\right) \approx 8{,}54272\times10^{13}\times 2{,}9455\times10^{-7} \approx 2{,}516\times10^{7}\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
  • Finalmente:
v \approx \sqrt{2{,}516\times10^{7}}\\ \mathrm{m/s} \approx 5{,}016\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Interpretação e arredondamento: o valor obtido é cerca de 5{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}, ou seja, aproximadamente 5{,}0\\ \mathrm{km/s}. Isso é menor do que a velocidade de escape “para o infinito” do próprio Marte (porque aqui pedimos escape até uma distância finita e grande, não até o infinito) e também porque a atração gravitacional da Terra, se considerada, tenderia a reduzir ainda mais a velocidade inicial necessária (ou mesmo permitir que uma velocidade inicial muito baixa seja suficiente), mas esse efeito não foi incluído na hipótese adotada.
Pequenas observações práticas (úteis para a prova):
  • Se a intenção fosse calcular a velocidade para escapar para o infinito, substituir-se-ia R_{\text{Terra--Marte}} por +\infty e a fórmula reduziria para v_{\infty}=\sqrt{2GM_{\text{Marte}}/R_{\text{Marte}}}.
  • Se se quisesse incluir a atração da Terra (energia potencial da Terra ao longo do trajeto), o cálculo mudaria e pode até resultar numa velocidade inicial menor (porque a Terra “puxa” a nave, dando energia negativa à energia potencial total), mas isso requer considerar as posições relativas iniciais (lado de Marte voltado à Terra ou oposto) e seria outro enunciado.

Resposta

v\approx 5{,}02\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}

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