Considere a função de onda abaixo:
Psi(x)=cc A x & 0<x <= a2 A(a-x) & a2<x<a 0 x <= 0 ou >= a A=2 raiz3raiza^3
a) Mostre que a função de onda está normalizada.
b) Encontre o valor médio da posição <x>.
c) Encontre o valor médio do momento <p>.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de onda em 1D, definida por
Psi(x)= A,x, & 0<x<= tfraca2, A,(a - x), & tfraca2<x<a, 0, & x<=0 ou x>= a, A = 2raiz3raiza^3
Precisamos (i) mostrar que Psi está normalizada, (ii) calcular lang<= xrang<= e (iii) calcular lang<= prang<=. Vamos usar as definições
1=integral-infty^infty|Psi|^2,dx, lang<= xrang<==integral-infty^inftyPsi^*,x,Psi,dx, lang<= prang<==-ihbarintegral-infty^inftyPsi^*,dPsidx,dx

Passo 2

Verificamos a normalização via
integral-infty^infty|Psi|^2,dx =integral0^a/2A^2x^2,dx +integrala/2^aA^2(a-x)^2,dx
Como
integral0^a/2x^2,dx=(a/2)^33=a^324 e integrala/2^a(a-x)^2,dx =integral0^a/2u^2,du =a^324,
temos
integral|Psi|^2,dx =2,A^2a^324 =A^2a^312
Para que isso valha 1, exige-se A^2a^3/12=1, ou seja A^2=12/a^3. Como foi dado A=2raiz3/a^3/2, a normalização está conferida.

Passo 3

Calculamos
lang<= xrang<= =integral0^a/2A^2,x^3,dx +integrala/2^aA^2,(a-x)^2,x,dx
Já sabemos A^2=12/a^3. Também
integral0^a/2x^3,dx=(a/2)^44=a^464,
e, com u=a-x,
integrala/2^a(a-x)^2,x,dx =integral0^a/2u^2,(a-u),du =5a^4192
Somando:
lang<= xrang<= = A^2gl(a^464+5a^4192gr) =12a^3,a^424 =a2

Passo 4

Usamos
lang<= prang<= =-ihbarintegralPsi^*(x),Psi'(x),dx
Como Psi é real, Psi' = A em (0,a/2) e Psi'=-A em (a/2,a). Logo
lang<= prang<= =-ihbar,A^2l[integral0^a/2x,(+1),dx +integrala/2^a(a-x),(-1),dxr]
Mas
integral0^a/2x,dx=integrala/2^a(a-x),dx=a^28,
logo o colchete é zero e lang<= prang<==0.

Resposta

a) A função está normalizada com A=2raiz3/a^3/2
b) lang<= xrang<= = tfraca2
c) lang<= prang<= = 0

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