O texto a seguir refere-se às Questões 3 e 4.
Um indutor elementar do tipo solenoide possui 400 espiras e um núcleo de um material magnético cujas dimensões são: área igual a 25 centímetros quadrados e comprimento igual a 12 centímetros. Verificou-se que ao se estabelecer um fluxo magnético no núcleo de 90 \times 10^{-4} Webers a corrente induzida que circula pela bobina é igual a 0,2 \mathrm{~A}. Sabendo-se que a permeabilidade magnética do vácuo é \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} Tesla-metro por Ampère, determine:
  • A permeabilidade magnética relativa do núcleo do indutor;
  • O valor da corrente, em mili-Ampères, no instante t=6,25 \times 10^{-3} segundos se a tensão no indutor for expressa pela equação v(t)=2 \cos (377 t) Volts. Considere que o indutor está desenergizado no instante t=0, ou seja, i(0)=0 Ampère.
    Questão 3
Qual é a permeabilidade magnética relativa do núcleo do indutor?
a) \mu_{r}=7,55
b) \mu_{r}=2780,9
c) \mu_{r}=432,8
d) \mu_{r}=150,6
e) \mu_{r}=10,74

Passo 1

Resumindo, temos um solenóide com N=400 espiras, área da seção transversal A=25\\ \text{cm}^2 e comprimento do núcleo l=12\\ \text{cm}. Mediu-se fluxo magnético \Phi=90\times10^{-4}\,\text{Wb} quando circula corrente i=0,2\\ \text{A}. Queremos a permeabilidade relativa \mu_r do núcleo, sabendo que \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}. Usaremos a definição de indutância e a fórmula do indutor solenoidal:
L = \frac{\mu\,N^2\,A}{l},
onde \mu=\mu_0\,\mu_r.

Passo 2

Calculamos o fluxo ligado (enlace de fluxo) \lambda pela bobina inteira, que é \lambda = N\,\Phi. Como \Phi=90\times10^{-4}\,\text{Wb}=9\times10^{-3}\,\text{Wb}, temos
\lambda = 400 \times 9\times10^{-3} = 3{,}6\\ \text{Wb}\cdot\text{espira}.

Passo 3

A indutância L relaciona-se com \lambda e a corrente i por \lambda = L\,i. Assim
L = \frac{\lambda}{i} = \frac{3{,}6}{0{,}2} = 18\\ \text{H}.

Passo 4

Agora usamos a fórmula do indutor solenoidal para isolar \mu:
L = \frac{\mu\,N^2\,A}{l} \quad\Longrightarrow\quad \mu = \frac{L\,l}{N^2\,A}.
Convertendo unidades:
A = 25\\ \text{cm}^2 = 25\times10^{-4}\,\text{m}^2 = 2{,}5\times10^{-3}\,\text{m}^2, \quad l = 12\\ \text{cm} = 0{,}12\\ \text{m}.

Passo 5

Substituindo em \mu = L\,l/(N^2A):
\mu = \frac{18 \times 0{,}12}{400^2 \times 2{,}5\times10^{-3}} = \frac{2{,}16}{160000 \times 2{,}5\times10^{-3}} = \frac{2{,}16}{400} = 0{,}0054\\ \text{H/m}.
Finalmente, a permeabilidade relativa é
\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0} = \frac{0{,}0054}{4\pi\times10^{-7}} \approx 4{,}30\times10^{2}.

Resposta

c) \mu_{r}=432,8

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