Se tg alpha=34 e pi, determine o valor de sec alpha-cossec alpha.

Passo 1

A questão dá tan alpha = tfrac34 e informa que pi < alpha < tfrac3pi2, ou seja, ângulo no terceiro quadrante. O conteúdo é funções trigonométricas e identidade pitagórica. Vamos usar sin^2alpha + cos^2alpha = 1 e análise de sinal para achar secalpha e cscalpha, e depois calcular secalpha - cscalpha.

Passo 2

Para expressar seno e cosseno, montamos um triângulo retângulo com catetos 3 (oposto) e 4 (adjacente), de modo que a hipotenusa vale 5. No terceiro quadrante tanto sinalpha quanto cosalpha são negativos, portanto: cosalpha = -tfrac45 e sinalpha = -tfrac35.

Passo 3

Calculamos agora as funções recíprocas: secalpha = tfrac1cosalpha = -tfrac54 e cscalpha = tfrac1sinalpha = -tfrac53.

Passo 4

Por fim, fazemos a diferença: secalpha - cscalpha = -tfrac54 - (-tfrac53) = -tfrac54 + tfrac53 = tfrac-15 + 2012 = tfrac512.

Resposta

\tfrac{5}{12}

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